第5章 微专题1 恒成立问题（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版2019）

微专题1　恒成立问题 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现得更为明显，也是历年高考的热点问题． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 类型一 类型二 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 不等式恒成立问题优先考虑采用分离参数法求参数范围，分离参数时需注意： (1)变量分离时，注意不等式的方向是否改变． (2)变量分离后，需构造新函数，通过借助导函数，求出新构造函数的最大(小)值；往往涉及二阶导数． 类型一　不等式恒成立求参数范围 分离参数 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)若a>0，且对x∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 当x∈(1,2e]时，g′(x)<0，g(x)单调递减； ∴g(x)max＝g(1)＝1， ∴a>x－xln x恒成立等价于a>g(x)max， ∴a>1. 故实数a的取值范围是(1，＋∞)． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [例2]　已知函数f(x)＝－xln x＋a(x＋1)，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； [解]　(1)由f(x)＝－xln x＋a(x＋1)，得f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－(ln x＋1)＋a， 令f′(x)＝－(ln x＋1)＋a＝0， 解得x＝ea－1， 由f′(x)>0，解得0<x<ea－1，由f′(x)<0，解得x>ea－1， 故f(x)的单调递增区间为(0，ea－1)，单调递减区间为(ea－1，＋∞)． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)若关于x的不等式f(x)≤2a在[2，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 由t′(x)>0，解得0<x<1，由t′(x)<0，解得x>1， 故t(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，t(x)max＝t(1)＝0， ∴t(x)≤0，所以ln x≤x－1， ∴g′(x)≥0，g(x)在[2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(2)， ∴a≤g(2)＝2ln 2， ∴a的取值范围是(－∞，2ln 2]． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [例3]　已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)当a＝1时，求f(x)的极值； [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1， 当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝0时函数f(x)有极小值f(0)＝0，无极大值． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)若f(x)≥x2在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 由(1)知x>0时，f(x)>f(0)＝0，即ex－(x＋1)>0， 所以当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x＝1时，g(x)min＝e－2， 所以a≤e－2， 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，e－2]． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)若对任意的x∈(0，＋∞)，均有f(x)≥0，求实数m的最小值． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 角度一　端点效应 有一类恒成立问题具有如下特征：函数在给定的区间端点处的取值为0，且题干设问有时可以转化为f(x)与0比较的形式．此时可以将不等号一侧的值看作函数在端点处的取值，利用单调性将原问题转化为研究导函数的性质． 分类讨论 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [例5]　已知函数f(x)＝e2x－ax. (1)讨论f(x)的单调性； 人教A版数学