5.3.2 函数的极值与最大(小)值(4)（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版2019）

5．3.2　函数的极值与最大(小)值(4) 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [学习目标]　1.通过具体实例感受导数在研究函数、不等式和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．　2.会用导数解决实际问题．如用料最省、利润最大、效率最高、面积和容积的最值等优化问题． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 D 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 D 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 3．把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为________ cm，宽为________ cm时，矩形面积最大． 解析：设长为x cm，则宽为(30－x)cm， 所以面积S＝x(30－x)＝－x2＋30x， 由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15. 故30－x＝30－15＝15(cm)． 15 15 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 利用导数研究函数问题 利用导数可以研究函数的 等．(填函数的性质) 单调性、极值、最值 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [例1]　给定函数f(x)＝(x＋1)ex. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； [解]　(1)∵f(x)＝(x＋1)ex， ∴f′(x)＝(x＋2)ex， 令f′(x)＝0，可得x＝－2， ∴当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－2)上单调递减， 当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)的极小值为f(－2)＝－e－2，无极大值． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 综上，f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)， f(x)的极小值为－e－2，无极大值． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)画出函数f(x)的大致图象； [解]　(2)当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0 并结合上面的单调性与极值可得大致图象如下： 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数． [解]　(3)方程f(x)＝a的解的个数，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a交点的个数． 由上图可知： 当a<－e－2时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a没有交点，方程f(x)＝a无解； 当a≥0或a＝－e－2时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有1交点， 则方程f(x)＝a有1个解； 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 当－e－2<a<0时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有2交点， 则方程f(x)＝a有2个解． 综上，当a<－e－2时，方程f(x)＝a的解的个数为0； 当a≥0或a＝－e－2时，方程f(x)＝a有1个解； 当－e－2<a<0时，方程f(x)＝a有2个解． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 1.求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值即可． 2．根据函数的单调性和极值即可作出函数的图象． 3．利用函数与方程之间的关系转化为两个图象交点问题进行求解即可． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)画出函数f(x)的大致图象； 解： (2)由(1)可得函数的大致图象如下： 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 1．实际问题中的最优化问题有 等． 2．解决优化问题的过程是一个数学建模的过程 利用导数解决