5.3.1 函数的单调性(3)（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版2019）

5．3.1　函数的单调性(3) 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [学习目标]　1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系．　2.能求简单的含参数的函数的单调区间．　3.能根据函数的单调性求参数的取值范围． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 预习教材，思考问题 问题1　对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？ 问题2　对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？　　　 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 A 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，0]　　　　　　 B．[1，＋∞) C．(－∞，3) D．(1，＋∞) 解析：∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立， ∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0， ∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)． B 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 3．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则bc＝________. 9 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 4．设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是___________． －1 (－∞，0] 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 求含参数的函数的单调区间 含有参数的函数单调性问题的处理方法 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合 来确定f′(x)的符号，否则会产生错误． (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了． 函数的定义域 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 求含参数的函数的单调性的方法往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况．常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 在某区间D上，若f′(x)>0⇒函数f(x)在D上 ；在某区间D上，若f′(x)<0⇒函数f(x)在D上 ． 若函数f(x)在D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在D上单调递减⇒f′(x)≤0. 注意：(1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题；(2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min；(3)需要对等号进行单独验证． 由单调性求参数的取值范围 单调递增 单调递减 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 分析：本题已知含参数的三次函数f(x)在给定区间上的单调性，求参数a的取值范围，可以先分别求出函数f(x)的单调递增区间A和单调递减区间B，然后根据[1,4]⊆B，[6，＋∞)⊆A，求出参数a的取值范围；也可以由导函数的符号与函数单调性之间的关系可得f′(x)≥0在区间[6，＋∞)上恒成立且f′(x)≤0在区间[1,4]上恒成立． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [解]　法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1， 由f′(x)＝0，得x＝1，或x＝a－