5.3.1 函数的单调性(2)（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版2019）

5．3.1　函数的单调性(2) 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [学习目标]　1.会利用导数求函数的单调区间，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．　2.了解函数图象增长的快慢与导数大小的关系． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 预习教材，思考问题 问题1　对于函数的单调性，在必修第一册是利用定义法和图象法求函数的单调区间，比如熟悉的一次函数、二次函数等．但是对于更复杂一些的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，如何利用函数的单调性与导数的关系来研究函数的单调性呢？ 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 问题2　研究对数函数y＝ln x与幂函数y＝x3在区间(0，＋∞)上增长快慢的情况． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 问题3　观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？ 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [预习自测] 1．函数f(x)＝x3－3x在(1，＋∞)上是(　　) A．减函数　　　　　　 B．增函数 C．常数函数 D．不能确定 解析：f′(x)＝3x2－3，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数． B 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) A 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 解析：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据导函数图象大致画出函数的图象，反之也可行． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (－∞，－1)和(1，＋∞) 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (0,1) 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 利用导数求函数的单调区间 利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 或(1)确定函数y＝f(x)的定义域； 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)求导数y＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增； (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 分析：本题利用导数研究函数的单调性． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 1.求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1. 解：(2)f′(x)＝6x2＋6x－36. 由f′(x)>0，得6x2＋6x－36>0， 解得x<－3或x>2； 由f′(x)<0，得6x2＋6x－36<0，解得－3<x<2. 故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(－3,2)． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 注意：分析图象的变化与导数的绝对值的大小关系． 函数图象的增长快慢的比较 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页