5.3.1 函数的单调性(1)（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版2019）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性(1) 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [学习目标]　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　2.能利用导数研究函数的单调性． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 预习教材，思考问题 问题1　观察下面高台跳水的运动轨迹及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 问题2　观察下面几个图象，探讨函数的单调性和导数的正负的关系． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [预习自测] 1．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象大致形状是(　　) C 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 解析：观察y＝f(x)的图象可知，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以导函数y＝f′(x)在(－∞，0)上小于0，在(0，＋∞)上大于0.结合各选项可知，只有选项C符合题意． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 2．已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　) D 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 解析：由题意可知，当x<0，或x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数，当x∈(0,2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象最可能为选项D中的图象． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 f(2)<f(e)<f(π) 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 函数的单调性与导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 ___________ __________ ___________ 单调递增 f′(x)<0 单调递减 注意：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 分析：利用导数的正负号来判断函数的单调性． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 利用导数判断或证明函数单调性的思路，利用导数判断或证明一个可导函数在给定区间内的单调性，实质上就是判断f′(x)在给定区间内的正负或证明不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间内恒成立．一般步骤为：(1)求导函数f′(x)；(2)判断f′(x)在给定区间内的符号；(3)给出单调性结论． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 (3)f(x)＝x－ex(x>0)． 解：(3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 1．在导函数图象中，x轴上方的图象所对应的区间对应原函数的单调__________，即“正则增”；反之，若原函数单调递增，则导函数图象在x轴上方，即“增则正”． 2．在导函数图象中，x轴下方的图象所对应的区间对应原函数的单调递减区间，即“负则减”；反之，若原函数单调递减，则导函数图象在x轴下方，即“减则负”． 由导函数的图象或信息画原函数的大致图象 递增区间 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [例2]　已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x<1，或x>4时，f′(x)<0；当x＝1，或x＝4时，f′(x)＝0，试画出函数f(x)的大致图象． 分析：利用导数的正负号来判断函数的单调性． 人教A版数学 选择性必修 第二册 返回导航 下页 上页 [解]　当1<x<4时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(1,4)内单调递增；当x<1，或x>4时，f′(x)<0，可知函数f(x)