8.6.3 第一课时 二面角（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（人教A版2019）

8．6.3　平面与平面垂直 第一课时　二面角 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [学习目标]　1.掌握二面角的定义．　2.掌握二面角的求法． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 预习教材，思考问题 问题1　二面角的平面角是如何定义的？ 问题2　三垂线法求二面角的步骤是什么？ 问题3　射影法求二面角的步骤是什么？　　　 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [预习自测] 1．如图正方体ABCD­A1B1C1D1，则平面ABC1D1与平面ABCD所成的锐二面角等于(　　) A．90°　　　　　　 B．60° C．45° D．30° C 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 解析：由已知可得BC1⊥AB，BC⊥AB，则平面ABC1D1与平面ABCD所成二面角的平面角为∠CBC1. 又知∠CBC1＝45°，则平面ABC1D1与平面ABCD所成的锐二面角等于45°. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 2.如图正四面体ABCD，则二面角A­CD­B的余弦值等于(　　) B 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 解析：取CD的中点E，连接AE，BE. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 3．若两平面的夹角为90°，则两个平面的位置关系为________． 垂直 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 4.如图，二面角α­AB­β的大小为30°，点C是面β内的一个点，CO⊥平面α于点O，作OD⊥AB于点D，连接CD，则∠CDO的大小等于________． 30° 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 解析：由已知得CO⊥AB，OD⊥AB， 则AB⊥平面COD，则AB⊥CD， 则∠CDO为二面角α­AB­β的平面角， 所以∠CDO＝30°. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 二面角 1．半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 ． 2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ． 这条直线叫做二面角的 ，每个半平面叫做二面角的 ． 半平面 二面角 面 棱 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 3．二面角的画法和记法 面—棱—面：二面角α­l­β；点—棱—点：二面角P­l­Q. 4．二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 ． 平面角 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 分析：△PBC和△ABC是全等的正三角形，根据等腰三角形三线合 一，用定义法作出二面角P­BC­A的平面角，再解三角形求得结论． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　1.定义法作二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点O，过点O在两个面内分别引棱的垂线OA，OB，这两条射线OA，OB所构成的∠AOB就是二面角的平面角． 2．垂面法作二面角的平面角：作二面角棱的垂面与二面角的两个面分别交于射线OA，OB，则∠AOB就是二面角的平面角． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　1.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中： 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 (1)求二面角D′­AB­D的大小； 解：(1)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，所以∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°. (2)求二面角A′­AB­D的大小． 解：(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，所以∠A′AD为二面角A′­AB­D的平面角． 又∠A′AD＝90°，所以二面角A′­AB­D的大小为90°. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　三垂线法作二面角的平面角 自二面角α­l­β的一个面α上的一点A向另一个面β引 ，再由垂足B向棱l作垂线，垂足为O，连接AO，则 或其补角为二面角α­l­β的平面角． ∠AOB 垂线 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [例2]　已知△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB＝a，求二面角P­BC­A的正切值． 分析：作AD⊥BC，垂足为D，连接PD，可