8.6.2 第一课时 直线与平面垂直的判定（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（人教A版2019）

8．6.2　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的判定 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [学习目标]　1.掌握直线与平面垂直的定义与判定．　2.理解点到平面距离的定义与求解．　3.掌握直线和平面所成角的定义与求解． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 预习教材，思考问题 问题1　直线和平面垂直是如何定义的？线面垂直的判定定理是什 么？ 问题2　点到平面距离的求解方法？ 问题3　斜线和平面所成角的求解步骤是什么？　　　 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [预习自测] 1．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．若直线a与平面α内的一条直线b垂直，则a⊥α B．若直线a与平面α内的两条相交直线m和n垂直，则a⊥α C．若直线a与平面α的无数条直线都垂直，则a⊥α D．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 解析：由线面垂直定义和判定定理知B，D正确． BD 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 D 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 解析：如图，由已知DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD上的射影， 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 3．若直线a与平面α所成的角为0°，则a与α的位置关系是 _______________． 解析：由线面角定义知a⊂α或a∥α. a⊂α或a∥α 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 4．如图，已知三棱锥A­BCD，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥BD，且BC＝BD＝2，△ACD是正三角形，则点A到平面BCD的距离等于________． 2 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 直线和平面垂直及点到平面的距离 1．一般地，如果直线l与平面α内的 一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作 . 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ．直线l与平面α垂直时，它们唯一的公共点P叫做 ． 任意 l⊥α 垂线 垂面 垂足 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 2．过一点垂直于已知平面的直线 ． 3．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的 ， 的长度叫做这个点到该平面的距离． 有且只有一条 垂线段 垂线段 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 分析：垂线段不易确定．设点A到平面PBC的距离为d，利用VA­PBC＝VP­ABC求d. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　求点P到平面α的距离的常用方法 (1)定义法：过P作PO⊥α，垂足为O，则垂线段PO的长度为点P到平面α的距离． (2)等积法：在平面α内找△ABC，点P到平面α的距离d为三棱锥P­ABC的高，利用VP­ABC＝VA­PBC(换底)求d. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　1.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的 直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 两条相交 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [例2]　求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 已知：如图，a∥b，a⊥α，求证b⊥α. 分析：要证b⊥α，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面α内的两条相交直线即可． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [证明]　如图，在平面α内取两条相交直线m，n. ∵a⊥α， ∴a⊥m，a⊥n. ∵b∥a， ∴b⊥m，b⊥n. 又m⊂α，n⊂α，m，n是两条相交直线， ∴b⊥α. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　2.如图，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB. 证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.