8.6.1 直线与直线垂直（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（人教A版2019）

8．6　空间直线、平面的垂直 8．6.1　直线与直线垂直 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [学习目标]　1.掌握两条异面直线所成角的定义，并能熟练求解两异面直线所成的角．　2.掌握两异面直线垂直的定义，并能判定两直线垂直． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 预习教材，思考问题 问题1　两条异面直线所成的角是如何定义的？ 问题2　求两条异面直线所成角的步骤是什么？ 问题3　判定两直线垂直的常用方法有哪些？　　　 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 解析：两条异面直线通过平移转化为相交线，两相交线的夹角为锐角或直角． B 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，则直线BC1与AD所成角的大小为 (　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：∵BC∥AD，∴∠C1BC为异面直线BC1与AD所成的角，易知∠C1BC＝45°. B 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与A1B异面垂直的棱是___________． 解析：与A1B异面的棱为AD，B1C1，DD1，CC1，DC，D1C1， 与A1B垂直的棱为AD，BC，B1C1，A1D1，则与A1B异面垂直的棱为AD，B1C1. AD，B1C1 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 4．如图，在正四棱锥S­ABCD中，SA＝AB，则直线SB与CD所成角的大小为________． 解析：∵AB∥CD，∴∠SBA为SB与CD所成的角． 由已知SA＝AB＝SB，∴∠SBA＝60°. 则直线SB与CD所成角的大小为60°. 60° 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　两条异面直线所成的角 　已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线____________ __________，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． a′∥a， b′∥b 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 分析：通过三角形中位线FM∥AB，EF∥CD， 得异面直线AB与CD所成的角为∠EFM， 解△EFM得cos∠EFM. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [解]　分别取BD，BC，AC的中点E，F，M， 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　1.已知正方体ABCD­A1B1C1D1，求直线A1B与AC所成角的大小． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 解：连接A1C1，BC1. 由已知AA1綉CC1，∴AA1C1C是平行四边形， ∴A1C1∥AC， ∴∠BA1C1或其补角是A1B与AC所成角． ∵A1B＝A1C1＝BC1， ∴∠BA1C1＝60°， ∴直线A1B与AC所成角的大小为60°. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　直线与直线垂直的判定 1．若两条异面直线a，b所成的角是 ，则说这两条异面直线互相垂直，记作 . 2．直线a，b平行时，规定a，b所成的角为 . 直角 a⊥b 0° 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [例2]　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证AO1⊥BD. 分析：要证明AO1⊥BD，应先构造直线AO1与BD所成的角，再证明这个角是直角，即得AO1⊥BD. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 [证明]　如图，连接B1D1，AB1，AD1. ∵ABCD­A1B1C1D1为正方体， ∴BB1綉DD1， ∴四边形BB1D1D是平行四边形， ∴B1D1∥BD， ∴直线AO1与B1D1所成的角为直线AO1与BD所成的角． ∵AB1＝AD1，又O1为B1D1中点， ∴AO1⊥B1D1， ∴AO1⊥BD. 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　证明两条直线垂直的常用方法 (1)定义法：两异面直线平移转化为相交线，解三角形判定垂直． (2)转化法：a∥c，c⊥b⇒a⊥b. 注意：平面几何中的垂直结论要熟知：矩形相邻两边、菱形两对角线、等腰三角形三线合一等． 返回导航 下页 上页 人A数学必修第二册 　2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，P是A1B的中点，Q是棱C1C的中点，求证：PQ⊥AB. 返回导航 下页 上