第2章 §7 7.2 实际问题中的最值问题（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版2019）

7.2　实际问题中的最值问题 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点　导数在解决实际问题中的应用 预习教材，思考问题 现有一根长为18 m的钢条，想将其围成一个长与宽之比为2∶1的长方体形状的框架，问如何设计才能使该长方体的体积最大？ (1)长方体的体积公式如何表示？ [提示]　(1)V长方体＝长×宽×高． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)如设长方体的宽为x m，则该长方体的长、高分别为多少？ (3)长方体的体积V(x)关于宽x的函数关系式是什么？ 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (4)你能用导数求V(x)的最大值吗？最大值是多少？ [提示]　(4)由已知得V′(x)＝18x－18x2， 令V′(x)＝0，得x＝0或x＝1. 易知V(x)max＝V(1)＝3(m3)．　　　 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 在实际问题中，经常会遇到解决一些如 、 、__________、 等问题，这些问题通称为最优化问题，用导数解决最优化问题的基本思路为： 面积最小 体积最大 成本最低 时间最少 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　平面几何中的最值问题 例　(1)如图所示，半径为2的圆M切直线AB于O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交圆M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是下图中的(　　) A 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 [解析]　(1)由所给的图示可得，当x≤π时，弓形PnO的面积为S＝f(x)＝S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sin x，其导数为f′(x)＝2－2cos x，由余弦函数的性质知，此值越来越大，即f(x)的图象上升得越来越快，由此可以排除B，C；再由所给图示的对称性知，弓形PnO的面积先是增加得越来越快，然后是增加得越来越慢，直到增加率为0，由此可以排除D. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为____________． 16 m,8 m 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 因为当0＜x＜8时，y′＜0； 当x＞8时，y′＞0， 所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m. 即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (3)在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大． OD＝rsin θ，BD＝rcos θ. 所以S△ABC＝rcos θ(r＋rsin θ) ＝r2cos θ＋r2sin θ·cos θ. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　1.利用导数解决最优化问题的基本思路 2．关于平面图形中的最值问题 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　立体几何中的最值问题 例　把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　关于立体几何中的最值问题 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际问题相关的问题． (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组