第2章 §5 简单复合函数的求导法则（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版2019）

§5　简单复合函数的求导法则 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 1．复合函数的定义 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数 和 的复合函数． 2．复合函数的记法 函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作 ，其中u为中间变量． y＝f(u) u＝φ(x) y＝f(φ(x)) 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝ ，其中u＝φ(x)． f′(u)φ′(x) 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　复合函数的导数运算 例1　曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． y＝2x 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 例2　求下列函数的导数： (1)y＝e2x＋1； [解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (3)y＝5log2(1－x)； 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (4)y＝sin3x＋sin 3x. [解]　(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2xcos x＋3cos 3x. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　已知函数f(x)＝(2x－3sin 3x)4. (1)求f(x)的导数； 解析：(1)因为f(x)＝(2x－3sin 3x)4， 所以f′(x)＝[(2x－3sin 3x)4]′ ＝4(2x－3sin 3x)3·(2x－3sin 3x)′ ＝4(2x－3sin 3x)3·[(2x)′－(3sin 3x)′] ＝4(2x－3sin 3x)3·[2－3cos 3x·(3x)′] ＝4(2x－3sin 3x)3·(2－9cos 3x)． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　复合函数导数的应用 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　关于复合函数导数的应用及其解决方法 (1)应用：①求在某点处的切线方程． ②已知切线的方程或斜率求切点． ③涉及切线问题的综合应用． (2)方法：先求出复合函数的导数，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 A 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 2．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝__________. 解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. 2 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上