第2章 §2 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版2019）

§2　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 2．2　导数的几何意义 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 2．观察问题1中的计算结果，考虑当Δt趋近于0时，平均速度具有什么样的变化趋势？ [提示]　2．当Δt趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值－13.1. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 3．从物理的角度看问题1，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度无限趋近于哪个量？用极限符号如何表示？ 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 1．函数y＝f(x)的自变量x从x0变化到x0＋Δx的平均变化率 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 2.函数f(x)在x＝x0处的导数(瞬时变化率) (1)定义：当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于___________ ____，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数． 一个固定的 值 ＝ 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 知识点二　导数的几何意义 预习教材，思考问题 (1)如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？ [提示]　(1)当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于点P处的切线PT. 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)当点Pn无限趋近于点P时，此时割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 2．切线的定义：当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于 ，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处 ． 直线l 相切 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 3．几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ． 斜率 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　求函数在某点处的导数 例　(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　求曲线的切线方程 例　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； [解]　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1,1)． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 (2)求曲线C过点P(1,1)的切线方程． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________． y＝5x－1 返回导航 下页 上页 北师数学选择性必修第二册 　导数几何意义的综合应用 例1　已知曲线y＝f(x)＝x2在点P处的切线斜率为