第6章 §5 5.1 第2课时 直线与平面垂直的判定（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（北师大版2019）

第二课时　直线与平面垂直的判定 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 随堂自测 巩固应用 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 知识点　直线与平面垂直的判定定理 预习教材，思考问题 (1)如果直线垂直于平面内的两条平行线，这条直线垂直于这个平面吗？如果垂直于平面内的无数条直线呢？ (2)过一点垂直于某个平面的直线有几条？过一点垂直于某直线的平面有几个？ (3)如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面吗？ 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 提示：(1)不一定垂直．两条相交直线就可确定唯一平面．若是平行直线，如图，直角三角尺的一直角边放在平面α内，另一直角边与α倾斜一个角度，则在α内，与直角边AC平行的直线会有无数条．也说明一条直线垂直于平面内无数条直线，直线不一定垂直于平面． (2)都是唯一一个． (3)垂直；垂直． 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 (1)文字语言：如果一条直线与一个平面内的 ，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α，a∩b＝A. (4)本质：线线垂直⇔线面垂直 两条相交直线垂直 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 直线与平面垂直的判定定理的应用 例　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1. 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 [证明]　连接BD，则AC⊥BD. 又∵DD1⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC， 又∵DD1∩BD＝D， ∴AC⊥平面D1DB， 又∵BD1⊂平面D1DB， 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥AB1， 又∵AB1∩AC＝A， ∴BD1⊥平面ACB1. 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 1．线线垂直和线面垂直的相互转化 2．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义． (2)线面垂直的判定定理. 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 (3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． 提醒：要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面． 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 (多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) BD 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 解析：对于A，易证AB与CE所成角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，易证AB与CE所成角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，易证ED⊥平面ABC，得ED⊥AB，易证EC⊥AB，且ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE. 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 直线与平面垂直的综合应用 例　△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点． 求证：(1)DF∥平面ABC； 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 (2)AF⊥BD. [证明]　(2)在Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点， ∴AF⊥BE. ∵△ABC是正三角形， ∴CG⊥AB，∴DF⊥AB. 又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G， ∴DF⊥平面ABE. 又∵AF⊂平面ABE.∴DF⊥AF. ∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF. 又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD. 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系． 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 1．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________． a>6 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 北师数学 必修 第二册 2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，