专题03 三角形与三角形全等(压轴考点)-《期末压轴题》2022-2023学年七年级数学下册必考专题复习攻略（北师大版）

专题03 三角形与三角形全等(压轴考点) 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据三角形中线求长度】 1 【考点二 三角形全等模型——垂直模型】 6 【考点三 三角形全等模型——一线三等角模型】 11 【考点四 三角形全等模型——倍长中线模型】 16 【考点五 三角形全等模型——动点模型】 24 【典型例题】 【考点一 根据三角形中线求长度】 【例题1】（2023春·江苏·七年级期中）如图所示，已知分别是的高和中线，．试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【变式1-1】（2023春·江苏·七年级专题练习）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，． (1)如图，当AC＝10cm时，求BD的长． (2)若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？ 【变式1-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知、分别是的高和中线，，．试求： (1)的面积； (2)的长度； (3)与的周长的差． 【变式1-3】（2023春·七年级单元测试）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长差． 【考点二 三角形全等模型——垂直模型】 【例题2】（2023秋·河南新乡·八年级统考期中）已知：如图，三点在同一条直线上，，，．求证：． 【变式2-1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，， 垂足分别为D，E． (1)求证：． (2)F为上一点，，连接， 交于G， 若．求的面积． 【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点． （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：； （2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．     【考点三 三角形全等模型——一线三等角模型】 【例题3】（2023春·全国·七年级专题练习）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：________； (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【变式3-1】（2023春·全国·七年级专题练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【变式3-2】（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； （2）如图②，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，求与的面积之和． 【考点四 三角形全等模型——倍长中线模型】 【例题4】（2023秋·广西崇左·八年级统考期末）（1）问题：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． （2）问题解决：小明发现，解题时条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，请写出小明解决问题的完整过程； （3）应用：如图2，以的边，为边向外分别作等腰直角和，M是的中点，连接．当时，求的长． 【变式4-1】（2023·江苏扬州·九年级专题练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：________________ (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，AD是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 【变式4-2】（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中