2022年北京市清华大学新领军招生数学试卷（一）（TACA）

2022年北京市清华大学新领军招生数学试卷（一）（TACA） 一、解答题（共5小题，满分0分） 1．作出函数f（x）＝ln|x|﹣x2+1图象． 2．y＝sinx在区间[t﹣1，t]上的最大值为M（t），最小值为N（t），若t∈[，]，求M（t）﹣N（t）的最大值． 3．数列满足an+1＝2，求an． 4．在△ABC中，BC＝，AC＝2，AB＝1，AD⊥AB且AD∩BC＝D，求S△ADC． 5．过椭圆左焦点作直线交椭圆于A，B两点，然后在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，求椭圆离心率范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年北京市清华大学新领军招生数学试卷（一）（TACA） 参考答案与试题解析 一、解答题（共5小题，满分0分） 1．【解答】解：函数f（x）＝ln|x|﹣x2+1的定义域为{x|x≠0}， 且f（﹣x）＝ln|x|﹣x2+1＝f（x），故函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称， 当x＞0时，f（x）＝lnx﹣x2+1，f′（x）＝﹣x＝， 令f′（x）＝0，解得x＝1， 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数， 所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值也是最大值为f（1）＝， 所以可得函数f（x）＝ln|x|﹣x2+1的图象如图所示： 2．【解答】解：函数y＝sinx的周期为6， 函数y＝sinx在[，]上递减， 当t∈[，]时，[t﹣1，t]⊆[，]， M（t）﹣N（t）＝sin﹣sin＝sin﹣cos﹣sin＝﹣sin（+）≤1． 当+＝，即t＝时取最大值1． 3．【解答】解：已知an+1＝2， 则， 即， 即， 即或， 由a1+1＝2， 即a1＝1， ①当时， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即， 即， 则当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1， 又n＝1时，a1＝1满足上式， 即an＝2n﹣1； ②当时， 则， 即， 即Sn+1＝Sn﹣1， 即an+an+1＝0，（n≥2）， 由a1+a2＝0， 即an+an+1＝0，（n≥1）， 又a1＝1， 即， 综上可得an＝2n﹣1或． 4．【解答】解：因为BC＝，AC＝2，AB＝1， 由余弦定理得cosC＝＝， 因为AD⊥AB， Rt△ACD中，cosC＝， 所以CD＝2×＝，AD＝＝＝， 故S△ADC＝＝＝． 5．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 设直线AB的方程为my＝x+c，椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），左焦点为F（﹣c，0）， 联立， 化为（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4＝0， Δ＞0， y1+y2＝， x1+x2＝m（y1+y2）﹣2c＝﹣2c＝， ∵在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形， ∴＝+＝（x1+x2，y1+y2）， ∴+＝1， 把y1+y2＝，x1+x2＝代入上式化为： b4m4+（2a2b2﹣4b2c2）m2+a4﹣4a2c2＝0， Δ＝（2a2b2﹣4b2c2）2﹣4b4（a4﹣4a2c2）＝16b4c4＞0， 上述关于m2的一元二次方程存在非负实数根， 则≥0，≥0，或≤0， 不等式组≥0，≥0，无解，舍去； 由≤0，化为a2≤4c2， 解得≤e＜1， ∴椭圆离心率范围是[，1）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $