15.3互斥事件和独立事件-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

15.3互斥事件和独立事件 题型1互斥事件和对立事件的判定 2 题型2互斥、对立事件的概率公式 5 题型3事件独立性的判断 7 题型4相互独立事件概率的计算 9 题型5相互独立事件概率的综合应用 12 知识点一.互斥事件与对、立事件的定义 互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥， AB=∅或AB=∅ 对立事件 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 =∅,=Ω 知识点二.互斥与对立的理解 ①事件A与事件B互斥:表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件 同时发生的概率为0. ②用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如果B=，则称A与B 相互对立. 知识点三.事件概率的计算 1. 互斥事件的概率加法公式 当A与B互斥（即AB=∅）时，有P（A+B）=P（A）+P（B）。 推广∶一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P（An）。 2.对立事件的概率公式 每次随机试验，在事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生。注意到必然事件的概率为1，因此P（A）+P（）=1。变形P（）=1- P（A）。 注意：在应用互斥事件概率加法公式时，一定要注意其前提是涉及 的事件是互斥事件。实际上，对于事件A，B有P（A+B）≤P（A）+P（B），只有当事件A，B互斥时，等号才成立。 知识点四.事件的混合运算 1.（AB）+（AB）表示AB与AB的和，实际意义是∶A发生且B 不发生，或者A不发生且B发生，也可以理解为A与B中恰有一个发生。 2.事件的混合运算律：求积运算的优先级高于求和运算，因此（AB）+（AB）可简写为AB+AB。 知识点五：相互独立事件的概念 1. 概念：一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件. 2. 结论：A，B相互独立 P（AB）=P（A）P（B）. 知识点六：相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 推广：如果事件A1，A2，...An，相互独立，那么P(A1·A2·...·An)=P(A1)P(A2)...P(An)(n∈N，n≥2) 题型1互斥事件和对立事件的判定 【方法总结】互斥事件与对立事件的区别与联系 （1） 区别∶两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况∶ ①若事件A发生，则事件B就不发生； ②若事件B发生，则事件A就不发生； ③事件A，B都不发生. 而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪ B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个. （2）联系∶互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立. 2. 从集合的角度理解互斥事件与对立事件 （1）几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. （2）事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 【例题1】（2022春·江苏徐州·高一统考期末）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（    ） A．为不可能事件 B．与为互斥事件 C．为必然事件 D．与为对立事件 【变式1-1】1．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是（    ） A．“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生” B．“至少选中名男生”与“至少选中名女生” C．“选中名男生”与“选中名女生” D．“至多选中名男生”与“至多选中名女生” 【变式1-1】2．（2022·江苏·高一专题练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个红球与都是红球 C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球 【变式1-1】3．（2021春·江苏苏州·高一苏州市第三中学校校考阶段练习）袋中装有红球3个､白球2个､黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球 【变式1-1】4.（多选）（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“