15.2随机事件的概率-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

15.2随机事件的概率 题型1随机事件的判断 4 题型2确定事件与随机事件的概率 6 题型3频率与概率概念的理解 8 题型4用频率估计概率 11 题型5古典概型的概率 13 题型6有放回、无放回的概率模型的求法 15 ◆类型1 无放回 16 ◆类型2 有放回 17 ◆类型3 有无放回 18 知识点一.随机事件的概率 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P（A）的附近摆动并趋于稳定.我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P（A）≈ . 注意：频率与概率的区别和联系。 ①频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率不同。 ②概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关。 ③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率。在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它的估计值。 ④二者都介于0~1之间，若A是不可能事件，则P（A）=0；若A是必然事件，则P（A）=1。 知识点二.概率的统计定义 （1）对频率随机性的理解 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. （2）对频率稳定性的理解 随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐 渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A 发生的概率P（A）的估计值为，且0≤P（A）≤1. 知识点三.古典概型的概念 1.定义：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性 ）则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型. 2.古典概型的判断标准： 一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性与等可能性．因此，并不是所有的试验都能归结为古典概型．下列三类试验都不是古典概型∶ （1） 样本点个数有限，但非等可能； （2） 样本点个数无限，但等可能 （3） 样本点个数无限，但非等可能. 知识点四.古典概型的概率公式 1.公式：古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到∶假设样本空间含有n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为.此时，若事件C 包含有m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P（C）=”. 注意：(1)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率. (2)计算古典概型概率的关键是求样本点总个数 n和所求事件包含的样本点个数m.这种计算方式避免了大量重复试验，通过分析样本点的个数就可以计算随机事件发生的概率，而且得到的概率是精确值. 说明∶注意一个样本点是某一次试验出现的结果，不是几次试验的结果，即保证 m，n 均为等可能样本点的个数. 2. 从集合的角度理解古典概型的概率计算公式 用集合的观点来考察事件C的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件C与样本点的关系，有利于理解公式P（C）=.如图所示. 把一次试验中等可能出现的n个样本点组成一个集合I，其中每一个样本点就是I中的一个元素，把含m个样本点的事件C看作含有m个元素的集合，则集合C是集合I的一个子集，故有P（C）=. 知识点五.较复杂的古典概型问题 设事件A，B是中的两个事件，如图所示，设样本空间的样本点总数为n，事件A，B包含的样本点的个数分别为m1，m2，事件A∩B包含的样本点数为m，易知A∪B中包含的样本点数为m1+m2- m, 注意： 1.P（A）==。 2.P（AB）==。 3.P（A＋B）====P（A）+P（B）-P（AB）。 注意：设A，B是Ω的两个事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）- P （AB），这就是概率的一般加法公式，该公式也适合A，B为互斥事件的情况，因为P（AB）=0。 题型1随机事件的判断 【方法总结】 ①随机事件发生与否，事先是不能确定的； ②必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0-1之间： ③要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发。 【例题1】（2022·高一课时练习）下列事件中是随机事件的是（    ） A．所有四边形的内角和为180° B．通常加热到100℃，水沸腾 C．袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出