第21讲 三角函数的性质与应用1（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第21讲三角函数的性质与应用1 1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在(k∈Z)上是递增函数,在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π,2kπ](k∈Z)上是递增函数,在[2kπ,2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z),对称中心是(kπ,0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z),对称中心是(k∈Z) 对称中心是(k∈Z) 2.常用结论 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. (3)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),则f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z); (4)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). 考点一 代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心 考点二 整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 考点三 图像法求三角函数最值或值域 考点四 换元法求三角函数最值或值域 考点一：代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心 例1．已知函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．关于点对称 C．在上单调递增 D．若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 【答案】A 【分析】利用三角函数图象的对称性及诱导公式求得的解析式，再结合三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】因为图象恰好关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 又因为，所以，， 选项A：的最小正周期为，正确； 选项B：由可得不是的对称中心，错误； 选项C：当时，， 所以由余弦函数的图象可得 在单调递增，在单调递减，错误； 选项D：当时，， 若在区间上存在最大值，则，解得， 即实数的取值范围为，错误； 故选：A 例2．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）（多选）若函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】利用三角恒等变换、诱导公式化简得，根据正弦型函数的性质判断A、B，代入法验证函数的对称轴、对称中心判断C、D. 【详解】由， 所以最小正周期为，A错误； 当，则，故在上递增，B正确； 由，故是的一条对称轴，C正确； 由，故是的一个对称点，D正确. 故选：BCD 考点二：整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 例3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据周期的计算可判断A，根据对称轴以及对称中心可判断BC，代入验证的表达式可判断D. 【详解】由，得的最小正周期为，故选项A正确； 因为，所以关于点对称，故选项B正确； 因为，所以关于直线对称，故选项C正确； 因为而 ，所以，故选项D错误. 故选：D 例4．已知函数，若是函数图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的对称轴公式求解，再由对称中心公式求得结果. 【详解】因为是函数图象的对称轴， 所以，则又因为， 所以. 令，得， 所以函数图象的一个对称中心为. 故选：A. 考点三：图像法求三角函数最值或值域 例5．函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单调区间满足，解得答案. 【详解】函数的单调区间满足：， 解得. 故选：D 例6．函数的最大值为2，且对任意的，恒成立，在区间上单调递增，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数的最值可得A＝2，根据恒成立可得，由函数的单调性可得，进而求得，求出函数解析式，即可求解. 【详解】因为的最大值为2，所以A＝2， 因为恒成立，所以当时，函数取得最大值， 则，，所以，． 当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，即， 所以，则． 所以， 故选：B． 考点四：换元法求三角函数最值或值域 例7．函数的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先利用三角恒等变换整理得，换元令，结合二次函数求最值. 【详解】由题意可得：， 令，则的对称轴为， ∴当时，取到最大