3.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第2课时　抛物线的方程及性质的应用 第三章 圆锥曲线的方程 复习回顾 l F K M H O x y 平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点, 直线l叫做抛物线的准线. 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 复习回顾 典例精析 题型一：抛物线的焦点弦 例1 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B点,|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F(1,0), l的方程为y=k(x-1)(k>0). 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1. 因此直线l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2), 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3), 即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. 典例精析 题型一：抛物线的焦点弦 例1 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B点,|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 例2 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方), l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　) A. B.2 C.2 D.3 典例精析 题型一：抛物线的焦点弦 解 (方法1)如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=(x-1). 联立得方程组 解得　或 ∵点M在x轴的上方,∴M(3,2). ∵MN⊥l,∴N(-1,2). ∴|NF|==4, |MF|=|MN|==4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形. ∴点M到直线NF的距离为2. 例2 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方), l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　) A. B.2 C.2 D.3 典例精析 题型一：抛物线的焦点弦 C (方法2)依题意,得直线FM的倾斜角为60°, 则|MN|=|MF|==4. 又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°, 因此△MNF是边长为4的等边三角形, 点M到直线NF的距离为4×=2. 典例精析 题型二：与抛物线有关的定点、定值问题 例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值. (1)解 ∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切, ∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离, ∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点, 以直线x=-1为准线的抛物线. ∴曲线C的方程为y2=4x. (2)证明 设直线l1的方程为y=k(x-1)+2. ∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补, ∴l2的方程为y=-k(x-1)+2. 联立得方程组 消元得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0. 设A(x1,y1),则x1=. 同理,设B(x2,y2),可得x2=, ∴x1+x2=,x1-x2=. ∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2] =k(x1+x2)-2k=-2k=. ∴kAB==-1.∴直线AB的斜率为定值-1. 典例精析 题型二：与抛物线有关的定点、定值问题 例3 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交