期末重难点突破专题专题04 离散型随机变量及其分布列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2023年高二期末重难点突破（新人教A版选修性必修三） 专题04 离散型随机变量及其分布列 ( 知识归纳 ) （一）离散型随机变量的分布列 1．对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量． 2．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示．且具有如下性质： (1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． （二）两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率． （三）离散型随机变量的数字特征 1．均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． ( 题型分类 ) 题型一 求离散型随机变量分布列 1．（2023春·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校联考期中）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个． (1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布； (2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率. 2．（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球. (1)求“三球中至少有一个为白球”的概率； (2)设表示所取白球的个数，求的分布列. 3．（2023·福建泉州·统考模拟预测）某同学尝试运用所学的概率知识研究如下游戏规则设置：游戏在两人中进行，参与者每次从装有3张空白券和2张奖券的盒子中轮流不放回地摸出一张，规定摸到最后一张奖券或能判断出哪一方获得最后一张奖券时游戏结束，能够获得最后一张奖券的参与者获胜． (1)从胜负概率的角度，判断游戏规则设置是否公平； (2)设游戏结束时参与双方摸券的次数为X，求随机变量X的分布列． 4．（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． 5．（2023·江西·校联考二模）文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出. (1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率； (2)抽取3次后，记取出红笔的数量为，求随机变量的分布列； (3)因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n次抽取中抽出第2支红笔的概率为，求的通项公式. 【方法小结】 题型二 离散型随机变量分布列的性质 6．（2023春·浙江·高二期中）随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023春·山东烟台·高二统考期中）设离散型随机变量X的分布列为，，2，3，则的值为______． 8．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则_____ 9．（2023春·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考阶段练习）设随机变量的概率分布列为： X 1 2 3 4 P