期末重难点突破专题05 超几何分布、二项分布和正态分布讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2023年高二期末重难点突破（新人教A版选修性必修三） 专题05 超几何分布、二项分布和正态分布 ( 知识归纳 ) （一）超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． [注意]　超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数．主要特征为：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． （二）伯努利试验与二项分布 1．伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 对于服从二项分布的随机变量X，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． （三）正态分布 若随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，其中E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 当μ＝0，σ＝1时，随机变量X服从标准正态分布． (1)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．997 3． ( 题型分类 ) 题型一 超几何分布及其期望和方差 1．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期中）某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名． (1)求选出的4名同学中有男生的概率； (2)记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 2．（2023·天津河西·统考一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________． 3．（2023春·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个. (1)求既有豆沙粽又有白粽的概率； (2)设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列. 4．（2023春·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考阶段练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望. 5．（2023春·浙江·高二期中）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. (1)计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率； (2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为，求n的值使得取得最大值. 【方法小结】解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式