2023年中考数学高频考点突破——圆与相似三角形综合

2023年中考数学高频考点突破——圆与相似三角形综合 1．如图，已知：边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点． （1）求弦DE的长； （2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似． 2．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N． （1）图中是否存在与△ODM相似的三角形，若存在，请找出并给于证明． （2）设DM＝x，OA＝R，求R关于x 的函数关系式；是否存在整数R，使得正方形ABCD内部的扇形OAM围成的圆锥底面周长为π？若存在请求出此时DM的长；不存在，请说明理由． （3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E． （1）求证：BE=DE； （2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域； （3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长． 4．如图，是的直径，，点是上方圆上的一个动点，连接，作的平分线，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）当_______时，四边形是平行四边形； （3）连接交于点，连接，当 _______时，与相似． 5．如图，直线y＝﹣2x+6与x轴，y轴分别交A，B两点，点A关于原点O的对称点是点C，动点E从A出发以每秒1个单位的速度运动到点C，点D在线段OB上满足tan∠DEO＝2，过E点作EF⊥AB于点F，点A关于点F的对称点为点G，以DG为直径作⊙M，设点E运动的时间为t秒； （1）当点E在线段OA上运动，t＝　　时，△AEF与△EDO的相似比为1：； （2）当⊙M与y轴相切时，求t的值； （3）若直线EG与⊙M交于点N，是否存在t使NG＝，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 6．水平地面上有一个圆形水池，直径AB长为6m，长为m的一旗杆AC垂直于地面（AC与地面上所有直线都垂直）． （1）若P为弧AB的中点，试说明∠BPC=90° （2）若P弧AB为上任意一点（不与A、B重合），∠BPC=90°还成立吗，为什么？ （3）弧AB上是否存在点P使△PAB与△PAC相似，若存在求的值，不存在，说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+8ax(a>0)与x轴交于O，A两点，顶点为M，对称轴与x轴交于H，与过O，A，M三点的⊙Q交于点B，⊙Q的半径为5，点C从点B出发，沿着圆周顺时针向点M运动，射线MC与x轴交于D，与抛物线交于E，过点E作ME的垂线交抛物线的对称轴于点F. (1)求抛物线的解析式； (2)当点C的运动路径长为 时，求证：HD=2HA． (3)在点C运动过程中．是否存在这样的位置，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△AHQ相似?若存在，求出此位置时点E的坐标；若不存在，请说明理由. 8．如图，已知梯形中，，且，以为直径作． （1）如图①，若，， ①求证：与相切； ②与的切点为E，连结、，求证：； （2）如图②，若，，，易证此时与交于两点，记为E、F，此时与都成立，请问线段上是否存在第三个点（记为G），使以A、B、G三点为顶点的三角形与相似？若存在，求的长度：若不存在，请说明理由． （3）若，，，请问当线段上存在唯一一个点（记作P，使以A、B、P三点为顶点的三角形与相似，求m的取值范围． 9．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1中，． 已知：如图2，是⊙的一条弦，点在⊙上（与、不重合），联结交射线于点，联结，⊙的半径为，． （1）求弦的长． （2）当点在线段上时，若与相似，求的正切值． （3）当时，求点与点之间的距离（直接写出答案）． 10．我们知道，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，过三角形外心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若其中有一个三角形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“外似线”． 【判断】 如图1，是的外接圆，过圆心O，分别交，于点M，N，且，则_____（填“是”或“不是”）的“外似线”； 【应用】 如图2，在中，，，，D为斜边的中点，求出所有“外似线”的长； 【证明】 如图3，已知二次函数图象与x轴交于A、B两点，点C是顶点，一次函数交y轴于点D，连接交x轴于点E，连结、，试证明是的“外似线”． 11．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．