2023中考数学高频考点突破——圆的综合

2023中考数学高频考点突破——圆的综合 1．如图1，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I． （1）求证：AI是⊙O的切线； （2）如图2，连接CI交AB于点E，交⊙O于点F，若tan∠IBC＝，求． 2．如图△ABC内接于⊙O，，BD是⊙O的直径，点P是BD延长线上一点，且PA是⊙O的切线． （1）求证：； （2）若，求⊙O的直径． 3．如图，与的斜边相切于点，与直角边相交于两点，连接，． (1)求证:； (2)若，，，求线段的长度． 4．如图，在四边形中，，.过点作交的延长线于点，设垂足为.以为直径作分别交，于点，，连结，若． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 5．如图，在△ABC中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点． （1）求证：为⊙O的切线； （2）当，时，求⊙O的半径． 6．如图，是直径，点，都在上，与相交于外的点，过点作交于点，连接，，求证： （1） （2） 7．如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC交AC于点F． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若等边△ABC的边长为8，求图中阴影部分的面积． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE=16，sinB=，求AF的长． 9．已知点是菱形对角线上的点，以点为圆心，为半径的圆与相切于点. （1）求证：与相切； （2）若圆的半径为6，求菱形的边长； 10．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC． (Ⅰ)如图①，OB=BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小； (Ⅱ)如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB=18°，求∠FAC的大小． 11．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点于，且. （1）求证：； （2）若，求的长度． 12．如图，的直径为4，的平分线交于点，交于点，是延长线上一点，且． （1）求的长； （2）求证：是的切线． 13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD、BC相交于点E． （1）求证：； （2）若CE=1，BE=3，求⊙O的半径． 14．如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为点平分． （1）是的切线吗？请说明理由； （2）若求的长． 15．如图，在圆O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且EF2＝PF•AF． （1）求证：F为弧BE的中点； （2）若tan∠BEF＝，求cos∠ABE的值． 16．如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，过点作，交⊙于点，连接，并延长，交的延长线于点E，连接，平分，交于点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）已知：，求CE的长． 17．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BE中点，AE⊥CD于点D，延长DC，AB交于点F，已知AD＝4，FC＝FB． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）求线段FC的长． 18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AC＝6，BC＝8，求BE的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2）=． 【分析】(1)延长AI交BC于D，连接OI．由I是△ABC的内心，得到BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．求得∠1=∠3，推出OI∥BD，得到OI⊥AI．于是得到结论； (2)连接BF，过B作BM⊥CF于M由(1)得AD垂直平分BC，求得BI=CI，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠4，设法证得FB∥AD，证得△AEI～△BEF，得到．设ID=a，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】(1)证明：延长AI交BC于D，连接OI． ∵I是△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC． ∴∠1=∠3， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC． 又∵OB=OI， ∴∠3=∠2． ∴∠1=∠2． ∴OI∥BD， ∴OI⊥AI， ∴AI为⊙O的切线； (2)解：连接BF，过B作BM⊥CF于M， 由(1)得AD垂直平分BC， ∴BI=CI， ∴∠1=∠4 故∠1=∠2=∠3=∠4=α， ∴∠BOI=180°﹣2α， ∴∠F=∠BOI=90°﹣α， ∴∠F+∠4=90°， ∴∠FBC=∠ADC=90°， ∴FB∥AD， ∴△BEF～△AEI， ∴． ∵DI∥BF，B