2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，抛物线经过点，点，交y轴于点A，点H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE⊥x轴于点E，交线段AB于点D，HQ⊥y轴，交y轴于点Q． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若四边形HQOE是正方形，求该正方形的面积． (3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点H，使得以点O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线与y轴交于点C，且经过点，． (1)求抛物线表达式； (2)如图①，点P是第一象限抛物线上的一个点，过点P作PD⊥y轴，交y轴于点D，交线段BC于点Q．连接CP．若△CDQ与△CPQ的面积比为，求点P的横坐标； (3)如图②，点M与点C关于抛物线的对称轴对称．在线段BC上，是否存在点N，使得以点C，N，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点， (1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系； (3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标 4．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于点B，抛物线过点A和点B，且与x轴交于另一点C，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接DA，当点P在直线DA右上方的抛物线上时，PE交DA于点M，过点M作MQ⊥AB于点Q，若MQ=，求m的值； (3)连接CB，当点P在第四象限的抛物线上时，以OB，OE为边作矩形BOEF，点H在线段OE上，过点H作HG∥EF交直线BF于点G，过点F作FK⊥BC交射线CB于点K，连接KG，KH，若△KGF和△KGH相似，直接写出m的值． 5．如图，已知抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由． (3)P是直线x＝1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线，线段BC以及x轴于点P、D、E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得和相似的点P的坐标； (3)作，垂足为F，当直线l运动时，求面积的最大值． 7．如图，二次函数的图像经过点，交x轴于点B，C（点B在点C的左侧），与y轴交于点D． (1)填空： ______； (2)点P是第一象限内抛物线上一点，直线交直线于点Q，过点P作x轴的垂线交直线于点T，若，求点P的坐标； (3)在x轴的正半轴上找一点E，过点E作的垂线交y轴于F，若与相似，求的长． 8．如图，抛物线经过点，，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点关于抛物线的对称轴的对称点为点，连接，，求tan的值； (3)在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上一点，且△和△相似，请直接写出点的坐标． 9．如图，已知二次函数与x轴交于点A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿△ABC的BA，BC边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接MN，将△BMN沿MN翻折，若点B的对应点B′恰好落在抛物线上，试求此时t的值及点B′的坐标； (3)在(2)的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 10．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP． (1)求抛物线的解析式； (2)连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值； (3)如图②，