专题01 排列组合问题讲义—2022-2023学年高二下学期期末复习

2023年高二期末重难点突破（新人教A版选修性必修三） 专题01 排列组合问题 ( 知识归纳 ) 1、排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2、排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 注：正确理解组合数的性质 1C＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数；2C＋C＝C：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法． ( 题型分类 ) 题型一 特殊元素(位置)问题 1．（2023·安徽·校联考三模）某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______． 2．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有_______种 3．（2023春·高二课时练习）从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 4．（2023春·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表. 【方法小结】所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时，对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 题型二 相邻问题 5．（2023春·湖北·高二校联考期中）某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 6．（2023春·重庆北碚·高二重庆市朝阳中学校考期中）7个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人．则不同的站法种数为________． 7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期中）哈尔滨市第一二二中学高二数学组织华容道大赛，七名数学老师依次登场，在安排出场顺序时，三个班主任需要排在一起登场，这样出场顺序一共有__________种．（用数字作答） 8．（2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ (2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 9．（2023春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）已知除颜色外完全相同的个小球，其中个白色，个红色，个黑色．现将它们从左至右随机排成一排，则个红球恰好排在一起的概率是________． 【方法小结】捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 题型三 相离问题 10．（2023·辽宁·校联考三模）A，，，，共5名同学站成一排，则A，必须相邻，，不能相邻的概率为______. 11．（2023春·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校联考期中）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端且甲和乙不相邻，则不同的排列方式有_____种. 12．（2023·河北·统考模拟预测）某班一天上午有四节课，现要安排该班上午的课程表