2023中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，是的直径，弦于点，在的切线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．如图，在中，E是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为点H，延长交于点G，若，求的长． 3．如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，过点B作BD//AC，交OA延长线于点D，连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°． (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)求图中阴影部分的面积． 4．如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当时，求的长． 5．如图，在中，，是∠ABC的平分线，点在上，以点为圆心，经过点的圆与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若四边形是菱形，时，求的半径． 6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交CB于D，E为AB延长上一点，∠C+∠BDE＝90°． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若BE＝2，tan∠ABC＝，求⊙O的半径． 7．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H． （1）求证：DH是半圆的切线； （2）若，，求半圆的直径． 8．如图，△ABC中．∠BCA＝90°，以AB为直径的⊙O与∠BAC的平分线交于点D，作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝30°，⊙O的半径为4，求弧CD，线段CE及切线DE围成的阴影部分面积． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 10．如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 11．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连结AD． （1）求证：EF为半圆O的切线．     （2）若AO＝BF＝2，求阴影区域的面积． 12．如图，为的直径，，为的切线，直线交延长线于，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的周长． 13．如图，AB是的直径，C是上一点，D是的中点，为延长线上一点，AE切于A，AC与BD交于点H，与OE交于点F，连结EC． （1）求证：EC是的切线； （2）若DH=9，，求的值． 14．已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的半径． 15．已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点． （1）是的切线吗？请说明理由； （2）若，求的值． 16．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ABC的角平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE＝AC，求∠ACB的大小． 17．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MN•MC的值． 18．已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据切线的性质得到，求得，推出，求得，于是得到结论； （2）连接，根据已知条件得到，得到，根据三角函数的定义得到，根据切线的性质得到，，于是得到结论． 【解析】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据同弧所对的圆周角相等证明即可证明结论； （2）先证明，得到，进而推出，证明，即可推出． 【解析】（1）解：∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与