2023届高考数学基础知识讲义-用定义法证明单调性

2023年高考数学基础知识-用定义法证明单调性 （人教A版2019） 【解题方法】 证明方法 定义法步骤 （1） 取值设任意x1，x2∈D且x1x2， （2） 作差: f（x1）﹣f（x2） （3） 变形（整体相乘/除，通分，因式分解） （4） 定号f（x1）﹣f（x2）＞0或＜0 （5） 结论 ㈠⇔f（x）在[a，b]上是增函数； ㈡⇔f（x）在[a，b]上是减函数． 【例题】 1．设函数是定义在上的奇函数. (1)确定函数的解析式； (2)试判断函数的单调性，并用定义法证明. 2．已知函数 (1)判断函数的单调性并用定义法加以证明 (2)求不等式的解集 3．已知函数. (1)判断函数的单调性,并用定义法证明; (2)若不等式对任意恒成立,求实数k的取值范围. 4．已知函数是定义在上的奇函数. (1)用定义法证明函数的单调性 (2)求不等式的解集； 5．已知函数是定义在上的函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明； 6．已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上单调性，并用定义法证明； (3)求函数在上的最大值与最小值. 7．已知函数（且）． (1)判断的单调性并用定义法证明； (2)若，求在上的值域． 8．已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并用定义法给予证明． 9．设函数且是定义域为的偶函数， (1)求的值并用定义法证明在上的单调性； (2)若，求实数的取值范围； (3)若在上的最小值为，求的值. 10．已知函数是奇函数，且． (1)求，的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明． 11．已知是定义域为的奇函数，当时，. (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)求在上的解析式. 12．已知函数为奇函数且． (1)求实数与之间的关系式； (2)若，完成下面问题： ①用定义法证明：在上为增函数； ②求解不等式． 13．已知幂函数经过. (1)求的值； (2)若，试判断在的单调性并用定义法证明. 14．已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义法证明. (2)若对恒成立，求的取值范围. 15．已知函数，且时，总有成立. (1)求的值； (2)判断并用定义法证明的单调性； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值. （2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果． 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， ∴由，得． 此时，满足， 所以函数的解析式为：. （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， ∵，， ∴，即， 所以在上单调递增． 2．(1)减函数;证明见解析； (2) 【分析】（1）用单调性的定义证明即可； （2）结合奇偶性与单调性求解，注意函数定义域的作用. 【详解】（1）为减函数. 证明如下: 的定义域为， 任取两个实数，且， ， ， ， ， ， ， 所以在上为单调减函数. （2）对，， 故函数为奇函数， 由可得， 由（1）知在上为单调减函数， ， 解可得， 故不等式的解集为. 3．(1)在R上是增函数,证明见解析 (2) 【分析】(1)利用单调性定义,对函数取值,作差,变形至几个因式乘积,判断正负后得出结论即可; (2)先判断的奇偶性,将不等式化为,再根据(1)中的单调性结论,变为恒成立,对不等式全分离后,利用基本不等式即可求得最值,进而求得k的取值范围. 【详解】（1）在R上是增函数, 证明:, 设,则, 因为,所以,,, 所以,即, 故在R上是增函数. （2）由于, 所以是奇函数, 因为不等式对任意恒成立, 所以不等式对任意恒成立, 由(1)知在R上是增函数, 所以只需不等式对任意恒成立即可, 即不等式对任意恒成立, 即对任意恒成立, 因为（当且仅当时等号成立）, 故,所以即可, 即实数k的取值范围为. 4．(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）根据奇函数性质求出，再由定义法证明函数单调性即可； （2）由奇函数及函数的单调性脱去“”求解即可. 【详解】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质可得， 当时，，因为，解得，所以， 此时，故. 在上单调递增, 证明：任取，且，则 ， 因为，所以， 所以，故在上单调递增； （2）因为是上的奇函数， 所以，可化为， 由（1）中结论可得，在上单调递增， 所以，解得或， 因此不等式的解集为或. 5．(1)奇函数，证明见解析 (2)f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，证明见解析 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可；