2023年广西中考数学专题复习：二次函数与相似三角形存在性问题

2023年广西中考数学专题复习: 二次函数与相似三角形存在性问题 解题步骤: (1) 找对角 (2) 分两类进行讨论 例题 1.如图1,已知二次函数的图像经过点点和点,连接,线段上有一动点P,过点P作的平行线交直线于点D,交抛物线于点E. (1)求二次函数的解析式; (2)移动点P,求线段的最大值; (3)如图2,过点E作y轴的平行线交于点F,连接,若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形,求此时点P坐标. 2.如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点,直线的表达式为. (1)求抛物线的表达式; (2)动点在直线上方的二次函数图像上,连接,,设四边形的面积为,求的最大值; (3)当点为抛物线的顶点时,在轴上是否存在一点,使得以,,为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点的坐标. 3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像经过点,,与y轴交于点C,连接、. (1)求二次函数的函数表达式; (2)设二次函数的图像的顶点为D,求直线的函数表达式以及的值; (3)若点M在线段上(不与A、B重合),点N在线段上(不与B、C重合),是否存在与相似,若存在,请直接写出点N的坐标,若不存在,请说明理由. 4.如图,一次函数与x轴,y轴分别交于A、C两点,二次函数的图象经过A、C两点,与x轴交于另一点B,其对称轴为直线. (1)求该二次函数表达式; (2)在y轴的正半轴上是否存在一点M,使以点M、O、B为顶点的三角形与相似,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由; (3)在对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 5.如图,已知二次函数的图象与x轴交于和两点,与y轴交于点,直线经过点A,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,点M在下方的抛物线上运动,求的面积最大值; (3)如图2,在y轴上是否存在点P,使得以D、E、P为顶点的三角形与相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由. 6.如图①,已知二次函数的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C. (1)求的面积. (2)点M在边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动,点N在边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动,两个点同时开始运动,同时停止.设运动的时间为t秒,试求当t为何值时,以B、M、N为顶点的三角形与相似? (3)如图②,点P为抛物线上的动点,点Q为对称轴上的动点,是否存在点P、Q,使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 7.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于,,三点,点P是直线上方抛物线上的一个动点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)动点P运动到什么位置时,的面积最大,求此时P点坐标及面积的最大值; (3)在y轴上是否存在点Q,使以O,B,Q为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 8.如图1,二次函数经过点和点,与y轴交于点C,点P为抛物线上一动点,直线BP与抛物线的对称轴相交于点D,与y轴相交于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)设点A关于直线PB的对称点为,当点落在抛物线的对称轴上时,求直线的解析式; (3)如图2,连接,,是否在x轴上存在一点Q,使以B,Q,P为顶点的三角形与相似?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由. 9.综合与探究 如图,二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点,且对称轴为直线. (1)求二次函数的解析式. (2)点E位于抛物线第四象限内的图像上,以,为边作平行四边形.当平行四边形为菱形时,求点的坐标与菱形的面积. (3)连接,在直线上是否存在一点,使得与相似,若存在,请直接写出点坐标,若不存在,请说明理由. 10.如图,二次函数的图象与x轴交于点,B两点,与y轴交于点C,并且,D是抛物线的一个动点,轴于点F,交直线于点E. (1)求出二次函数解析式及所在直线的表达式; (2)在点D运动的过程中,试求使以O,C,D,E为顶点的四边形为平行四边形的点D的坐标; (3)连接,在点D运动的过程中,抛物线上是否存在点D,使得以点D,C,E为顶点的三角形与相似?如果存在,求出点D的坐标,如果不存在,请说明理由. 11.已知:二次函数的图像与轴交于,与轴交于点, (1)求该二次函数的关系式; (2)求点的坐标,并判断的形状,说明理由; (3)点是该抛物线轴上方的一点,过点作轴于点,是否存在,使得与相似?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 12.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,其中点A为,与y轴负半轴交于点,其对称轴是直线. (1)求二次函数的解析式; (2)圆为的外接圆,点E是延长线上一点,的平分线交圆于点D,连接,求的