第三章 函数的概念与性质 章节复习知识点网络-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

赵琴编 第三章 函数的概念与性质章节复习 一、本章知识结构 二、本章重难点 概念 知识点 1、函数及三要素（定义域、对应法则、值域） 一、函数的概念 2、区间 一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性：“任意性”、“存在性”、“唯一性”； 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式； 3、对应关系包括一对一、多对一。 一、判断对应法则或图象是否是一个函数（非空性、任意性x、唯一确定性y） 二、判断两个函数是否是相同函数（定义域、对应法则） 三、求函数定义域(写成集合或区间形式) 3、分段函数 概念、表示方式、定义域、值域、图象 4、复合函数（定义域、值域） 二、函数的表示法 5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法：解析法、列表法、图像法； 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点，函数图象呈现形式主要有2种：连续的曲线或孤立的点； 3、画函数图象方法：描点法（列表、描点、连线） 6、函数的最大值、最小值 7、函数的奇偶性 8、幂函数（概念、图象、性质） 三、题型 1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式) 函数类型 定义域 举例 ①整式函数 ②分式函数 分母不为0 ③偶次根式函数 根号中式子 ④奇次根式函数 ⑤绝对值函数 ⑥0次幂函数 底数不为0 ⑦对数函数 真数大于0 ⑧实际问题 考虑实际意义 正方形周长公式 多个使函数有意义的条件用花括号连接，写成不等式组。 2、求复合函数的定义域 ①已知的定义域，求的定义域； ②已知的定义域，求的定义域； ③已知的定义域，求的定义域； ④已知的定义域，求的定义域 关键：定义域是指自变量的值 相同对应法则下的整体变量取值范围相同（空间不变原理） 3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式) 函数类型 定义域 值域 一次函数 二次函数 时， 时，(- 配方、画图、找最高点和最低点 反比例函数 分式函数 分母不为0 配凑法（利用基本不等式求解） 4、求函数的解析式 ①待定系数法 ②换元法/配凑法 ③方程组法/消元法 ④赋值法 最后一定要考虑定义域，定义域不是一定要写出来 5、函数单调性的判断、证明及应用 (1) 常见单调性结论 单调递增 单调递减 函数在区间上为增函数，，且，则 函数在区间上为减函数，，且，则 ① ① ② ② ③ ③ ④ ④ 即与的变化趋势相同， 自变量增量与函数值增量同号。 即与的变化趋势相反， 自变量增量与函数值增量异号。 单调性性质推论 ①如果在区间上单调递增/减，且，则在区间上单调递增/减 ②如果关于对称，则在对称轴两侧具有相反的单调性，如 ③如果关于对称，则在关于的对称区间上具有相同的单调性，如 常见单调性结论 与单调性相同 和 与单调性相同 和 与单调性相同 和 若，和的单调性相同 和 若，和的单调性相反 和 若和在区间上具有相同的单调性，则具有类似的单调性，也可以推出单调性 增，增增 减， 增，增 减， 如果求函数单调性问题，不是初等函数（即一次、二次、反比例……），可利用单调性的定义直接处理。 (2) 复合函数的单调性 外层函数 内层函数 增 增 相同单调性 增 减 减 增 减 相反单调性 减 减 增 (3) 分段函数的单调性 已知分段函数在定义域内是单调函数 ①每一个分段区间上函数具有相同单调性 ②考虑分段点处的衔接情况 (4) 二次函数最值问题分为三类： ①定轴定区间：配方-画图-观察 ②动轴定区间：分3类（对称轴在区间右侧、区间上、区间左侧） ③定轴动区间：分3类（区间在对称轴右侧、过对称轴、对称轴左侧 （②③汇总后得到的最值是关于参数的分段函数。 解题思路：二次函数的最值问题依赖于函数图象和单调性，关键是判断对称轴和区间的位置关系来确定函数单调性，从而求出最值。 (5) 判断函数单调性的步骤 ①（取值） ②计算；（作差-变形） 注意结果一定是因式分解易判号的形式 ③比较和0的大小（判号） ④作出结论（下结论） 若，则函数在上为增函数； 若，则函数 在上为减函数； (6) 函数单调性的应用 ①判断证明函数的单调性、单调区间 ②利用函数的单调性比较大小、解不等式 ③利用函数的单调性求参数的值或取值范围 ④利用函数的单调性求最值 ⑤利用