2023年广西中考数学专题复习　二次函数与等腰三角形存在性问题(二）

二次函数与等腰三角形存在性问题 2022-2023学年人教版初中中考数学复习专题 解题方法: （1） 两圆一中垂 （2） 距离公式法 例题 1．如图，已知二次函数的图象经过点，且与x轴交于原点及点，点A为抛物线的顶点． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由； 2．如图，二次函数的图象与x轴交于，，与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标； (2)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线． (1)求该二次函数表达式； (2)在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图像经过点，与轴正半轴交于点，连接，．的顶点，在轴上，，，点．将沿轴向右平移，平移距离为． (1)求二次函数的表达式； (2)向右移动过程中，是否存在点使得是等腰三角形，若存在，请求出的值．若不存在请说明理由； (3)①当点首次落在抛物线上，求的值．②当抛物线落在内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 5．如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)若点在抛物线对称轴上，且在轴上方，当为等腰三角形时，求出所有符合条件的点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点，点是直线上一点，连接，，当的周长最大时，点的坐标为，周长的最大值为______． (3)如图2，已知．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点，连接，当是等腰三角形时，抛物线的平移距离d的值为______． 7．已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为． (1)原抛物线的函数解析式是　 　． (2)如图①，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图②，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上存在着点P，使为等腰三角形．符合条件的点P坐标有若干个，请求出任意一个符合要求的点P的坐标． 9．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数的对称轴上是存在点K，使为等腰三角形，若存在，请求出K点坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，作交于M，设点P的横坐标为t，求的最大值． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)存在，M为，或或 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）分，三种情况进行分类讨论，进行求解即可。 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）过点A作直线轴于点F， 由（1）得， ∴抛物线的顶点， ①， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴在点处，是等腰直角三角形，此时为； ②， 由①得是等腰直角三角形，， ∴ ∴为或， ③， ∵ ∴， ∴为， 综上所述，M为，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．(1)， (2)存在，，或，或或 【分析】（1）将，两点的坐标代入二次函数解析式中，求得、，进而可求解析式； （2）以，，为顶点的三角形为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①；②；③．可通过画图得点大致位置，再利用勾股定理