7.1.2 复数的几何意义 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数的几何意义 第七章 复 数 学习目标 1.理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 18世纪，瑞士人阿甘达(J.Argand,1768－1822)给出复数的一个几何解释，他注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用增添某种新的概念来扩充实数系.在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效.他不仅将a＋bi表示为复平面上的一点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法.使人们对复数不再有种神秘的印象.同学们，你们想知道复数的几何意义是什么吗？ 在几何上，我们用什么来表示实数? 类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ 实数可以用数轴上的点来表示． 实 数 数轴上的点 （形） （数） 一一对应 0 4 5 7 -3 -3 4 5 7 0 这些数值如何用数轴表示？ 知识梳理 x y o Z(a，b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴——实轴 y轴——虚轴 ——复数平面 (简称复平面) z＝a＋bi b a 虚部 b 实部 a （ ， ） z ＝a＋bi a b 一个复数由什么惟一确定？ 形成一对有序实数对 知识梳理 1 复数与复平面内点的关系 提示　复数a＋bi(a，b∈R)实质上是实数的有序实数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应. 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 1 问题 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ，y轴叫做 ，实轴上的点都表示 ；除了 外，虚轴上的点都表示 . 2.复数集C中的数和复平面内所有的点组成的集合是 的，即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 实轴 虚轴 实数 原点 纯虚数 一一对应 知识梳理 例1　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围. 解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8， 虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得m2－2m－8＝0，解得m＝－2或m＝4. 此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 找对应关系 列出方程 反思感悟 跟踪训练1　求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面内的x轴上方； 解　∵点Z在x轴上方， ∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2. (2) 在实轴负半轴上. 解　若复数z的对应点Z在实轴负半轴上， 2 复数与复平面内的向量的关系 提示　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数. 能用平面向量表示复数吗？ 2 问题 思考 直角坐标系中的点 Z(a，b) 平面向量 复数 z＝a＋bi 一一对应 一一对应 一一对应 x y o b a Z(a，b) z＝a＋bi 复数、向量、坐标系中的点有何联系？ 知识梳理 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量____由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量 确定. 唯一 知识梳理 例2　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 解　记O为复平面的原点， 故点D对应的复数为－3－2i. 当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. 解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 复数与平面向量的对应关系 ① ② 反思感悟 3 复数的模 能否类比定义复数的绝对值？ 实数绝对值的几何意义是什么？ z＝a＋bi对应平面向量的