6.4.3.2正弦定理(一) 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正弦定理(一) 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. 正弦定理的推导 1 壶口瀑布 A B 任务：测量壶口瀑布 壶口处的距离AB. 工具：卷尺，测角仪. 问题一 提示　以锐角△ABC为例， 也即asin C＝csin A， 问题二 提示　观察右图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 所以对任意△ABC， 知识梳理 正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 . 正弦 已知两角及任意一边解三角形 2 在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R. 例1 两角一边正弦定理 解　∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°. 反思感悟 正弦定理的形式 三角形内角和 三角形的内角和为180°， 已知两角一定可以求出第三个角. 跟踪训练1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解这个三角形. 解　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 已知两边及其中一边的 对角解三角形 3 例2 ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 两边及一边对角正弦定理 反思感悟 已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值， 进而求出这个角. (2)用三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边. 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值. 跟踪训练2 75° ∵b>a，则A必为锐角， ∴A＝45°， ∴C＝180°－B－A＝180°－60°－45°＝75°. 跟踪训练2 (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝ ， b＝2，A＝60°. ①求sin B的值； 跟踪训练2 (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝ ， b＝2，A＝60°. ②求c的值. 解　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 整理得c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)， 所以c＝3. 三角形解的个数的判断 4 例3 下列三角形是否有解？有解的作出解答. (1)a＝7，b＝8，A＝105°； 解　由a＝7，b＝8，可得a<b，所以A<B， 又由A＝105°>90°， 所以这样的三角形无解. 例3 又由C＝60°<90°，所以这样的三角形只有一解. 所以B＝45°，所以A＝180°－(B＋C)＝75°， 可得b<c，所以B<C， 例3 又由A＝30°<90°，且bsin A＝6sin 30°＝3，所以a>bsin A， 所以这样的三角形有两解； 所以B＝60°或B＝120°， 当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝90°， 例3 当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝30°， 反思感悟 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 结论 在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 性质 应用三角形中大边对大角的性质以及 正弦函数的值域判断解的个数. 反思感悟   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 跟踪训练3 不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a＝5，b＝4，A＝120°； 所以三角形有一解. 跟踪训练3 不解三角形，判断下列三角形解的个数. (2)a＝9，b＝10，A＝60°； 故三角形有两解. 跟踪训练3 不解三角形，判断下列三角形解的个数. (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 所以B>45°，所以B＋C>180°， 故三角形无解. 1.知识清单： (1)正弦定理. (2)正弦定理的变形推论. (3)利用正弦定理解三角形. (4)三角形解的个数的判断. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：已知两边及一边所对的角 解三角形时易忽略分类讨论. 课堂小结 在Rt△ABC中，＝＝， 在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 由分配律，得j·＋j·＝j·， 即| j|||cos ＋| j|||cos＝| j|||cos， 所以＝. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 ＝. 过点A作与垂直的单位向量j， 因此＝＝. 则j与的夹角为－A，j与的夹角为－C.