6.4.3.2正弦定理 (二) 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正 弦 定 理 (二) 学习目标 1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系. 2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状. 3.掌握正弦、余弦定理的简单应用. 知识梳理 1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， a2＝b2＋c2－2bccos A， c2＝a2＋b2－2abcos C， 大黄蜂变形后功能改变，大大地增加了战斗力！ 那正弦定理变形后会有什么威力呢？ 知识梳理 我们先来 学会变形吧！ 正弦定理的常见变形： 或 利用正弦、余弦定理解三角形 1 例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，解三角形. 解　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， ∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°； 已知两边和一对角可使用余弦定理 ∴A＝90°，C＝60°. 例1 1.画出图形 2.由正弦定理求角C的正弦值 3.分情况讨论角C是锐角还是钝角 30° 在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，解三角形. C A B 30° C A B 用正弦定理的解题思路 能不能使用正弦定理呢？ 例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，解三角形. 又c>b,∴30°＜C＜180°， ∴C＝60°或C＝120°. 30° C A B 120° 30° C A B 60° 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6； 当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3. 分情况讨论角C是锐角还是钝角 反思感悟 已知两边及一边对角解三角形注意事项 用余弦定理 用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数. 用正弦定理 用正弦定理求出另一边的对角， 但要注意此三角形解的个数的判断. 　 跟踪训练1 即bc＝20，又c＝4，所以b＝5. 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21， C A B 跟踪训练1 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 2 例2 在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0， 所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B， 注意正切化两弦 所以由正弦定理，得sin 2A·tan B＝sin 2B·tan A， A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 注意边化角 例2 因为在△ABC中，0<A<π，0<B<π， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π， 注意角范围和分类讨论 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. √ 反思感悟 判断三角形形状的方法及技巧 余弦定理 用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数. 化简技巧 统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 　 跟踪训练2 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b＝ asin B， cos A＝cos C，则△ABC的形状是 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析　在△ABC中，cos A＝cos C，A，C∈(0，π)， 由函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，可得A＝C. 显然A为锐角，从而有A＝60°，则C＝60°，进而得B＝60°， 所以△ABC的形状是等边三角形. √ 正弦、余弦定理的综合应用 3 例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B. (1)求B的大小； 1.正弦定理边化角得 2.由角的范围求得 例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B. (1)求B的大小； 在△ABC中，sin A≠0， 例3 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B. (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 1.正弦定理角化边得 2.由余弦定理可求 c＝2a 例3 解　∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝ acos B. (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 反思感