6.4.3.1余弦定理(一)课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理(一) 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 余弦定理的推导 1 现有三个岛屿A，B，C，岛屿A，B，C与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°. 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名. A B C 岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 在△ ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c, 怎样用a，b和C表示c? 问题一 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B. 那么c＝a－b， ① 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 知识梳理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的 . 平方的和 余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝c2＋a2－2cacos B c2＝a2＋b2－2abcos C 余弦定理 注意 在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 问题二 提示　a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 知识梳理 1.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 2 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 3.余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边” 判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 注意 已知两边及一角解三角形 2 (1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 ，求三角形的另一边的长； 例1 a=5 b=3 两边及一角余弦定理 A B C cos= c=2 解 由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos=25+9+18=52， 则c=2 例1 解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 所以该三角形为直角三角形，且A＝90°，C＝60°. A B C c b 两边及一边的对角余弦定理 反思感悟 若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边； 若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 已知三角形的两边及一角解三角形的方法： 必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角. 跟踪训练1 解析　由A＋B＝60°得C＝180°－(A＋B)＝120°. 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C 在△ABC中，a＝2，b＝1，A＋B＝60°，则边长c＝______. 已知三边解三角形 3 在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何解三角形？ 问题三 提示　 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝c2＋a2－2cacos B c2＝a2＋b2－2abcos C 知识梳理 余弦定理推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝ . 已知三边长 余弦定理推论 例2 反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理 求出三个角的余弦值 进而求出三个角 跟踪训练2 而A为三角形的内角，故A＝45°. 45° 课堂小结 1. 知识清单： (1)余弦定理 (2)余弦定理解决的两类问题 (3)余弦定理的简单应用 2. 方法归纳：化归转化、数形结合 3. 常见误区：易忽略三角形中的隐含条件 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， － 当a＝2时，a2＝20＝b2＋c2， (2)在△ABC中，已知b＝，c＝，B＝30°，解这个三角形. 得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2. 当a＝时，A＝30°，C＝120°； ＝4＋1－2×2×1×＝7， 解得c＝. 　cos A＝， cos B＝， cos C＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝. 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小. 解　根据余弦定理的推论，得cos A＝ ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝＝， 　在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1