6.4.3 余弦定理、正弦定理的综合应用课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

余弦定理、正弦定理的综合应用 学习目标 1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式. 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用. 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用. 三角形面积公式 1 某近海海域有若干海岛，现有三个岛屿A，B，C，利用激光测距可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且可以测出AC，BC的夹角为60°. A B C 则岛屿A，B ， C组成的三角形水域的面积如何计算呢？ 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 问题一 边b上的高h为asin C， 提示 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 知识梳理 A B C b c a 则△ABC的面积公式为 S＝__________ S ＝ __________ S ＝ __________ 知识梳理 大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B. A＋B＋C＝ ， sin(A＋B)＝ ， cos(A＋B)＝_______ . △ABC中的常用结论 注意 A B C b c a 180° sin C －cos C 例1 解析　如图，结合题意绘出图象： 余弦定理 例1 解析　 面积公式 例1 由正弦定理，得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A， ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0， 边角混合式 例1 基本不等式 即a2＋c2＝3＋ac≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)， ∴ac≤3， 反思感悟 方程思想在解题中的应用. 1.充分挖掘题目中的条件 2.转化为求两边及其夹角的正弦问题 求三角形的面积 A B C b c a 注意 跟踪训练1 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝3， 且sin∠ADB＝ sin B. (1)求AB的长； 跟踪训练1 (2)若AD⊥AC，BC＝3BD，求△ABC的面积. 解　设BD＝m，由BC＝3BD，得DC＝2m， 在△ABD中，由余弦定理得， 又Rt△ADC中，AD＝3， 解得m2＝9，即m＝3， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， 余弦、正弦定理 在平面几何中的应用 2 如图，在平面四边形ABCD中，∠DCB＝45°，DB⊥AD，CD＝2. 例2 ∠DCB＝45°， 例2 解　因为AD⊥DB，所以∠ADB＝90°， 所以sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)] ＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCDsin∠BDC， 例2 又A为锐角，所以A＝60°. 反思感悟 先找所求的边、角所在的三角形 再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角 平面几何中求边、求角的通常思路 例如求角A的大小 跟踪训练2 (1)求sin C的值； 跟踪训练2 (2)若BD＝5，求△ABD的面积. 余弦、正弦定理 与三角函数的综合应用 3 例3 (1)求a和sin C的值； 又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)， 可得bc＝8. ∴b＝4，c＝2， 例3 (1)求a和sin C的值； ∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A 例3 (1)求a和sin C的值； 又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)， 可得bc＝8. ∴b＝4，c＝2， ∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A 例3 反思感悟 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式 1.先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值， 再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值； 2. 先求函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题. 跟踪训练3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. 跟踪训练3 所以cos B＝2sin B. 从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)， 因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0， 课堂小结 1. 知识清单： (1)三角形的面积公式； (2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题； (3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用. 2. 方法归纳：化归转化、数形结合. 3. 常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验. 故面积为S＝bh＝absin C. absin C bcsin A casin B 即＝， 得cos A＝， (1) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a，b，c.若b＝ccos A,D为AB中