6.4.1 平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面几何中的向量方法 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 学习目标 用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合. 向量集“数”与“形”于一身 既有代数的抽象性 又有几何的直观性 向量是几何研究的一个有效工具 a＝xi＋yj 用向量解决 平面几何中的平行(或共线)问题 1 例1 共线问题 例1 知E，F分别是CD，AB的三等分点， 几何问题转向量问题 反思感悟 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 建立联系 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 运算 通过向量运算，研究几何元素之间的关系. 翻译 把运算结果“翻译”成几何关系. 设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC， 试用向量证明：PQ∥AB. 又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB. 跟踪训练1 利用向量证明平面几何问题 2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点， 求证：AF⊥DE. 例2 几何中垂直的 证明问题 则|a|＝|b|，a·b＝0. 向量的线性运算法 例2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 方法二　如图所示，建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2， 则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 向量的坐标运算法 例2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 向量的线性运算法 ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题. 向量的坐标运算法 ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 向量的线性运算法 向量的坐标运算法 跟踪训练2 证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， ＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. 跟踪训练2 方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1，AP＝λ(0<λ< )， 跟踪训练2 利用平面向量 求几何中的长度问题 3 例3 几何中的 长度问题 在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量 的模长是_____. 向量的 数量积转化 反思感悟 用向量法求长度的策略 选基底 根据图形特点选择基底， 利用向量的数量积转化， 用公式|a|2＝a2求解. 建立坐标系， 确定相应向量的坐标， 代入公式：若a＝(x，y)， 则|a|＝ . 建系 跟踪训练3 利用平面向量 求几何中的角度问题 4 例4 长度问题 例4 角度问题 ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 向量的夹角公式 反思感悟 用向量法求角度的策略 方法 ①将要求的角转化为两向量的夹角； ②再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值； ③然后求出该夹角； ④再转化为实际问题中的角即可. 注意事项 要注意两向量的夹角和要求角的关系. 45° 跟踪训练4 ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300， 又∠0°<∠OAB<180°，所以∠OAB＝45°. 课堂小结 1. 知识清单： (1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题. (2)利用向量证明平面几何问题. (3)利用平面向量求几何中的长度. (4)利用平面向量求几何中的角度. 2. 方法归纳：转化法、数形结合法. 3. 常见误区： 不能将几何问题转化为向量问题. 随堂演练 5 解析 1 2 3 4 √ 已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为（ ） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析 1 2 3 4 √ 解析 1 2 3 4 √ 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于 如图，建立平面直角坐标系， 则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)， 1 2 3 4 1 解析 如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上， 且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上. ＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n. 所以＝. 又点O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上. 如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上， 且＝＝.求证：点E，O