6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量数量积的坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量 积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直 有关的问题. 学习目标 向量的加法可以用坐标表示 减法也可以用坐标来表示 还有数乘也可以呀！ 那数量积可不可以用坐标来表示呢？ 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 3 平面向量数量积的坐标表示 1 问题一 1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，若a，b的夹角为60°，则a·b＝____． 1 2．在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？ i·i=______；j·j=______；i·j=_____． 1 1 0 夹角为90° 　回顾所学内容，回答下列问题： 问题二 若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出 a·b 的值吗？ 提示：∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2. 知识梳理 平面向量数量积的坐标表示： 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ . x1x2＋y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 注意 例1 　(1)若向量m＝(2，－1)，n＝(3，2)，则(2m＋3n)·(m－n)等于 A.－25 B.25 C.－19 D.19 √ 利用向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算 例1 方程思想 解析 设b＝(x，y)，其中y≠0， √ 9 反思感悟 向量数量积运算注意事项 公式 正确使用公式 a·b＝x1x2＋y1y2 几个关系 (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 解析　建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)， 跟踪训练1 平面向量的模 2 知识梳理 1.若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ . 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝ . x2＋y2 向量坐标等于其终点坐标减去对应的起点坐标. 注意 例2 已知向量a＝(2，4)，b＝(1，n)，若a∥b，则|3a－nb|等于 解析　因为向量a＝(2，4)，b＝(1，n)，且a∥b， 所以2n＝1×4，解得n＝2， 所以3a－nb＝3(2，4)－2(1，2)＝(4，8)， √ x1y2=x2y1 反思感悟 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 ① 求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2. ② a•a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2， 此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 跟踪训练2 已知向量a＝(2，m)，b＝(3，6)，若|3a＋b|＝|3a－b|，则实数m的值为 A.1 B.－1 C.4 D.－4 解析　已知向量a＝(2，m)，b＝(3，6)， 则3a＋b＝(9，3m＋6)，3a－b＝(3，3m－6)， 解得m＝－1. √ 平面向量的夹角、垂直问题 3 知识梳理 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角. 2.a⊥b⇔ . x1x2＋y1y2＝0 注意 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角， 两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角. 例3 (1)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2). ①求a与b夹角的余弦值； 向量的夹角公式坐标运算 例3 解　因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)， 且(a－λb)⊥(2a＋b)， 两向量垂直 数量积为0 (1)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2). ②若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数