6.3.1平面向量基本定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 学习目标 七个音符谱出千支乐曲，二十六个字母写就百态文章！在多样的平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ G F1 F2 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？ 在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的合成与分解拓展到向量中来，就会形成一个向量的基本定理. 答：G= F1 + F2. 平面向量基本定理 1 思考 给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？ e1 e2 2e2 B C O 3e1 A e1 e1 -2e2 3e1＋2e2 e1 e2 6 思考 如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？ M N O A B C P O A B C P 7 思考 设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示下列向量 思考 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 能否使用向量e1，e2 合成向量a？ e1 e2 a 思考 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.能否将向量a分解成e1，e2两个方向上的向量. e1 e2 a 思考 上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 解答：分解方法唯一. 如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式， 那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， 可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0， 由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0， 由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2， 因此，分解方法是唯一的. 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 不共线 任一 有且只有一对 不共线 (1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任意向量的表示法是唯一的， 即λ1，λ2是唯一确定的. 注意 知识梳理 　若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－ C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－e2 √ 对于D，e1＋e2与e1－e2不共线，故能作为基底. 解析 两向量是否共线 　对于A，由e1－e2＝－(e2－e1)，所以两向量共线，故不能作为基底； √ 例1 跟踪训练1　已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋ (2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝____. 3 解析　因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线， 所以x－y＝3. 用基底表示向量 2 解　因为DC∥AB，AB＝2DC， E，F分别是DC，AB的中点， 三角形法则、平行四边形法则、共线定理 例2 解　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别为DC，AB的中点， 同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算. 用基底表示向量的一般方法 实质 选取方法 基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量. 跟踪训练2 平面向量基本定理的应用 3 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 借助平面向量基本定理、向量共线定理 ∵A，P，M和B，P，N分别共线， 由平面向量基本定理， (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. 平面向量基本定理 实质 转化与化归 (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，