6.2.4向量的数量积(一) 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积(一) 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生 位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积.　 学习目标 “哼”老猪我偏要向右！ 我老沙喜欢天天向上 八戒、沙僧把同样质量大宝箱拖动同样的位移进入白马寺，他们做的功是否一样？ F2 . F1 . θ 两向量的夹角与垂直 1 问题一 如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α.  (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W(功)是 量；②F(力)是 量；③s(位移)是 量；④α是 量. (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 数 向 向 数 提示：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 这就给我们一种启示：能否把功W看成两个向量F与s的一种运算结果呢？为此我们引入向量数量积，今天，我们就来学习向量的数量积. 5 非零向量 ∠AOB 知识梳理 当θ＝0时，a与b ； 同向 当θ＝π时，a与b ； 反向 . . . θ θ 2.垂直：如果a与b的夹角是 ， 则称a与b垂直，记作 . 知识梳理 注意 a⊥b . 例1 　 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 1.画出图形 2.确定是否共起点 a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60° a b 60° 30° a＋b a－b . . 反思感悟 求两个向量夹角的步骤和注意事项 起点重合 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 系数正负决定方向 特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ； 当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 　 √ 跟踪训练1 两向量的数量积 2 知识梳理 1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 2.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. |a|·|b|cos θ a·b a·b＝|a||b|cos θ 0 知识梳理 两个向量平行注意同向 和反向 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ . ≤ 向量数量积与模的关系 两个向量的夹角公式 知识梳理 注意 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”. (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量. (4)|a|2＝a2是求向量的长度的工具. (5)沟通了向量运算与数量之间的关系. 例2 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时， 分别求a与b的数量积. 解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. 两个向量平行 注意同向和反向 (2)当a⊥b时，θ＝90°，a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. 反思感悟 求平面向量数量积的步骤 求夹角 求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]. 求模 分别求|a|和|b| 标准写法 求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 　(1)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则a·b＝____. 10 跟踪训练2 解析　如图，△ABC是边长为6的正三角形， －18 跟踪训练2 投影向量 3 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换： 过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为A1，B1，得到， 我们称上述变换为向量a向向量b ， 叫做向量a在向量b上的 向量. 知识梳理 投影 投影 知识梳理 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单