6.2.4向量的数量积(二) 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积(二) 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 学习目标 向量数量积的运算律 1 通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，可以得到数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 两个实数的乘法满足什么样的运算律？ 能类比到两个向量的数量积吗？ 提示：实数乘法满足交换律、结合律和分配律. 问题 1.对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 知识梳理 知识梳理 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝____________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝____________ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝__________________________ 2. a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a (1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)(a·b)c≠a(b·c). 注意 想一想为什么？ 例1 (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论， 正确的是 A. a·c－b·c＝(a－b)·c B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C.|a|－|b|<|a－b| D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 √ 解析　根据数量积的分配律知A正确； 数量积是否为零 ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论， 正确的是 A. a·c－b·c＝(a－b)·c B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C.|a|－|b|<|a－b| D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 例1 √ √ 解析 ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确； 显然D正确.故正确结论的选项是ACD. 数形结合 √ 反思感悟 向量数量积和实数乘积的区别 ② 向量的数量积不满足结合律. ① 由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0. 给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________.(填序号) ② 解析　由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确. 跟踪训练1 利用数量积求向量的模和向量的夹角 2 (1)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 例2 如何求夹角？ 例2 (2)已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a. ①求向量a与b的夹角； 解　①因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a， 所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 和问题(1)求夹角有何不同？ 例2 (2)已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a. ②求|3a＋b|. 利用a2＝|a|2 反思感悟 求解向量的模以及夹角 夹角 主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 模 要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ， 勿忘记开方. 解　设a与b的夹角为θ， 由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7， 跟踪训练2 与垂直、夹角有关的问题 3 例3 解析　由4|a|＝3|b|， 可设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t. 因为(xa＋b)⊥b， 所以(xa＋b)·b＝xa·b＋|b|2＝x×3t×4t× ＋4t×4t＝(4x＋16)t2＝0， 又t>0，所以x＝－4. √ 垂直如何应用？ 本例中的条件不变，“(xa＋b)⊥b”改为xa＋b与b的夹角为锐角.求x的取值范围. 解　|b|＝4t(t>0)， (xa＋b)·b＝xa·b＋|b|2＝(4x＋16)