6.2.3向量的数乘运算课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

向量的数乘运算 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律 进行向量运算. 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 学习目标 向量的数乘运算 1 狗、猫和老鼠 老鼠由B处以6 m/s的速度向正东奔跑，狗由A处以6 m/s的速度向正西奔跑，猫由A处以5 m/s的速度向正东奔跑，问：老鼠和狗能否相遇？猫和老鼠能否相遇？可以用向量解决这个问题吗？ 已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)． 它们的长度和方向分别是怎样的？ 向量的加法 问题一 提示：a＋a＋a的长度是a长度的3倍，与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)是a长度的3倍，与a的方向相反． 分别记作：3a和-3a a a a a −a −a −a 知识梳理 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ， 记作 ，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝ . (2)λa(a≠0)的方向： 特别地，当λ＝0时，λa＝ . 当λ＝－1时，(－1)a＝ . 向量 当 时，与a的方向相同； 当 时，与a的方向相反. 数乘 λa |λ||a| λ>0 λ<0 0 －a (1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果 是一个实数．(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算. 注意 a λa λ λa 例1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是 A.λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.λ＝0时，λa与a是共线向量 C.|λa|＝λ|a| D.λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 √ √ √ 方向的规定 0与a是共线向量 |λa|＝|λ||a| 方向的规定 λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 反思感悟 跟踪训练1 √ 向量的模 向量的线性运算 2 类比实数乘法的运算律， 你能猜想向量的数乘有哪些运算律？ 问题二 提示：结合律，分配律． 知识梳理 1.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ . (2)(λ＋μ)a＝ . (3)λ(a＋b)＝ . 特别地， (－λ)a＝－λa＝ ，λ(a－b)＝ . (λμ)a λa＋μa λa＋λb λ(－a) λa－λb (1)结合律是指实数的结合； (2)分配率有两种形式. 注意 2.向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b， 以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ . 加 减 数乘 λμ1a±λμ2b (1)若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于 A.－a B.－b C.－c D.以上都不对 √ 解析　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b ＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. 例2 运算律 例2 (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 解析　由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0， 所以x＝4b－3a. 运算律 4b－3a 方程法 向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 向量线性运算的基本方法 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. 类比法 反思感悟 跟踪训练2 计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； 解　原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c). 解　原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b. 用已知向量表示其他向量 3 例3 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC 的中点，F为AE的中点，则 等于 √ 解析 利用向量的三角形法则，可得 ∵E为BC的中点，F为AE的中点， 则 用已知向量表示其他向量的两种方法 直接法 方