2.2基本不等式（一）教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

环节三 基本不等式(一) · 教学目标 1．理解基本不等式 (a＞0，b＞0)，会利用不等式性质证明，发展逻辑推理素养； 2．了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养； 3．结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养． · 教学重难点 · 教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题． 教学难点：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值． · 课前准备 PPT课件，及GEOGEBRA制作的动画课件． · 教学过程 一、整体感知 问题1：请同学们阅读课本，说一说今天我们将要学习的内容是什么？在不等式中起着怎样的作用？ 师生活动：学生自主阅读课本，思考并回答，教师给予简单总结． 预设答案：类比代数式运算的研究，学习了一般运算之后，就要探索其特殊关系，这些特殊关系往往具有重要作用，比如乘法公式等等．那么学习了不等式的性质，我们就要尝试探索一些特殊的不等式——基本不等式． 它是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石． 设计意图：让学生从整体上把握本节内容，了解基本不等式在解决不等式问题有重要的作用． 二、新知探究 1．基本不等式的定义 问题2：阅读课本，思考：什么是基本不等式？它是怎样得到的？ 师生活动：学生阅读课本回答，教师总结：基本不等式是将上节课所学的重要不等式a2+b2≥2ab中用，代替a，b并变形得到的，并板书：． 预设答案：通常称（a>0，b>0）为基本不等式．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于几何平均数． 上节课我们学习了一类重要不等式： a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． 特别地，如果a>0，b>0，用代替上式中的a，b可得，当且仅当a=b时，等号成立． 追问：不等式中a，b的范围是什么？它和原不等式中的范围一样吗？ 师生活动：学生自主反思后回答，a，b均为非负数，如果a，b中有负数，该不等式不成立．教师指出基本不等式的定义要求a，b均为正数． 预设的答案：a，b均为非负数．只有a，b均为非负数，才能用代替a2+b2≥2ab中的a，b． 设计意图：通过上一节的重要不等式得到基本不等式，同时明确两个不等式之间的联系，通过分析其特征，得到基本不等式的代数解释，进一步加深对其的理解． 2．基本不等式的证明 问题3：你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？请你试一试。 师生活动：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明 ，教师给与肯定． 追问1：在前面我们学习过充分条件和必要条件，你能否从所证明的式子出发，寻找使不等式成立的充分条件，从而形成证明思路？ 师生活动：师生共同分析，要证明，只需证明，从而只需证，只要证，而显然成立．教师指出只要把过程倒过来，就可证明出基本不等式了，并要求学生自己写出证明过程． 预设答案：要证 ， ① 要证①，只要证 ． ② 要证②，只要证 ． ③ 要证③，只要证 ． ④ 要证④，只要证 ． ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立． 每一个“只要证”都是“要证”成立的充分条件，那么只要把过程倒过来，就可直接推出基本不等式了． 追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？ 师生活动：学生对照自己所写的证明分别回答每一步的依据． 预设答案：第一步依据不等式性质4，第二步依据不等式性质3，第三步依据完全平方公式，第四步依据不等式性质4． 追问3：上述证明叫做“分析法”．你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？ 师生活动：学生讨论后回答． 预设答案：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．分析法常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要哪些知识不太明确具体的情况．这时可以尝试从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件． 追问4：根据教科书上的证明过程，你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？ 师生活动：学生思考后回答． 预设答案：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”． 设计意图：利用不等式的性质，用分析法