6.3.1 二项式定理-【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

二项式定理 授课人：XXX 第六章 计数原理 Image by <a href="https://www.freepik.com/free-vector/people-connecting-puzzle-pieces_3935549.htm#query=combination&position=25&from_view=search&track=sph">Freepik</a> 学习目标 掌握二项式定理，能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 掌握二项展开式的通项，并能运用通项公式求指定项或指定项的系数. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1 2 3 学习目标 数学抽象 二项式定理. 逻辑推理 用多项式运算法则和计数原理推导二项式定理. 数学运算 运用二项式定理解决问题. 课程导入 前面我们学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开的问题. 在古代，很多问题的解决需要开方，例如开河、筑堤等水利工程的设计与建造，就会涉及开三次方等计算. 就古代的开方算法而言，二项式系数是极为重要的. 为了研究各项系数所遵循的规律，就有了各种算术三角形，在我国称为“杨辉三角”，在西方称为“帕斯卡三角”. 利用算术三角形，发现了二项式系数的各种性质，乃至一般规律，由此建立了二项式定理. 起源 01 二项式定理及有关概念 问题1 问题探究 我们知道， 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ 问题探究 根据多项式乘法法则， 可以看到，是个相乘， 和相乘时，只要从一个中选一项(或)，再从另一个中选一项(或) ，相乘就得到展开式的一项. 这相当于两个位置，一个位置从第一个括号的或中选择，另一个位置从第二个括号的或中选择. 问题探究 这样，根据对多项式乘法法则的分析，我们就将多项式乘积展开的问题转化为一个计数问题. 由分步乘法计数原理， 共有 项 项的形式是 问题探究 下面我们再来分析一下形如 的同类项的个数. 这是由个中都不选 得到的. 因此，出现的次数相当于从2个中取个（都取）的组合数，即 只有1个. 这是由个中选 ，另个中选 得到的. 由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从个中取1个的组合数，即 共有个. 当时，， 当时，， 问题探究 因此，可以得到项的系数为 由上述分析可以得到 这是由个中都选 得到的. 因此，出现的次数相当于从2个中取个的组合数，即 只有1个. 当时，， 问题探究 由于 是个相乘， 每个在相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项. 问题2 仿照上述过程，你能利用计数原理，写出 ， 的展开式吗？ 问题探究 由分步乘法计数原理， 每一项的形式是 . 1个 3个 3个 1个 问题探究 对于某个，对应的项是由个中选，个中选得到的. 由于选定后，的选法也随之确定，因此出现的次数相当于从3个中取个的组合数， 所以 类似地，可得 问题探究 从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数，我们有如下猜想： 问题3 进一步地，你能写出 的展开式吗？ 问题探究 下面我们对上述猜想的正确性予以说明. 由于是个相乘， 每个在相乘时有两种选择，选或， 而且每个中的或都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项. 因此，由分步乘法计数原理可知， 在合并同类项之前，的展开式共有项， 其中每一项都是的形式. 问题探究 对于每个， 对应的项是由个中选，另外个中选得到的. 由于选定后，的选法也随之确定， 因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数. 这样，的展开式中，共有个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式. 问题探究 可以用数学归纳法来证明. ①当时，左边右边，所以等式成立. ②假设当时等式成立，即 问题4 能否对该猜想予以证明呢？ 问题探究 那么，当 ， 因此，当时等式也成立. 由数学归纳法知，等式对一切都成立. 二项式定理 该公式叫做二项式定理. 右边的多项式叫做的二项展开式. 各项的系数 叫做二项式系数. 式中的叫做二项展开式的通项. 用表示. 即通项为展开式的第项： . 二项式定理 二项式定理中二项展开式的特点： 项数：它有项. 次数：各项的次数都等于的次数. 二项式系数：二项式系数为 字母按降幂排列，次数由递减到； 字母按升幂排列，次数由递增到. 这是一组仅与二项式的次数有关的个组合数，而与无关. 注意 二项式定理 二项式定理中各项的系数与二项式系数容易产生混淆， 项的系数是项中某些字母之外的数的积. 例如，的展开式的第项为 其中第项的系数是， 二项式系数是，二者是不相等的. 二项式定理 对通项的理解： 通项公式是的展开式的第项，这里. 字母是一种“符号”，实际上它们可以是数或代数式，只要具备的形式，