6.2.4 组合数-【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

组合数 授课人：XXX 第六章 计数原理 Image by <a href="https://www.freepik.com/free-vector/people-connecting-puzzle-pieces_3935549.htm#query=combination&position=25&from_view=search&track=sph">Freepik</a> 1 学习目标 能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数. 通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，利用组合数与排列数的关系，得到组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数. 核心素养 数学抽象 组合数的概念. 逻辑推理 组合数公式的推导. 数学运算 利用公式求具体问题的组合数. 知识回顾 一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 组合 知识回顾 排列与组合的异同点： 排列 组合 相同点 不同点 两者都是从个不同元素中取出个元素. 与元素的顺序有关. 与元素的顺序无关. 01 组合数公式 问题探究 在6.2.3节中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了，是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷地求出组合个数？ 问题1 为了便于表达和计算排列个数，类比排列数，我们先给出组合数的定义和表示. 组合数的概念 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示. 组合数 符号中的是英文 combination（组合）的第一个字母. 组合数还可以用符号 表示. 问题探究 追问1 用组合数符号表示6.3.2节问题1的组合数，并说明组合数与组合有何区别？ 6.3.2节问题1 是求从3个不同元素中取出2个元素的组合数， 表示为 . 问题探究 追问1 用组合数符号表示6.3.2节问题1的组合数，并说明组合数与组合有何区别？ 组合数与组合的区别： 组合数：是指“从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数. 组合：是指“从个不同元素中取出个元素合成一组”，它不是一个数. 问题探究 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？ 问题2 追问1 我们知道，可以利用排列数公式求出6.2.1节问题1的排列数，那么能否在此基础上求出与之有关的6.2.3节问题1的组合数呢？ 问题探究 我们已经知道，6.2.1节问题1中相同元素的排列有3组，每组的排列数是2，即排列数 ； 而6.2.3节问题1中的每一组都对应着6.2.1节问题1中相同元素的一组排列. 这样，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数 . 问题探究 追问2 能否运用与追问（1）同样的方法，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 ? 设这4个元素为， 那么从中取出3个元素的排列数 ， 以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图所示. 问题探究 追问2 能否运用与追问（1）同样的方法，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 ? 排列 组合 问题探究 排列 组合 我们也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数 ”： 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法. 于是，根据分步乘法计数原理，有 ，即 . 问题探究 追问3 依据求组合数和的方法，如何求组合数？ 同样地，求“从个元素中取出个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从个不同元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有 . 组合数公式 由此，我们就得到公式 这里，，并且. 这个公式叫做组合数公式. 组合数公式 由 还可以得到组合数公式的什么形式？ 问题3 因为 所以，组合数公式还可以写成 规定 组合数公式 计算：（1） ； （2） ； （3）；（4）. 例6 解： （1） （2） （3） （4） 根据组合数公式，可得 组合数公式 观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？ 问题4 发现：， . 组合数的性质1 组合数公式 组合数的性质1 特征 1 等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标. 解释 2 一般地，从个不同元素中取出个元素后，必然剩下个元素，因此从个不同元素中取出个元素的组合，与剩下的