第01讲 一元二次方程-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

第01讲 一元二次方程 理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点诠释： 　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 类型一、关于一元二次方程的判定 例1．判定下列方程是不是一元二次方程: 　　(1)； 　(2)． 例2.判定下列方程是否关于x的一元二次方程： 　　(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； 　　(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1． 【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定 例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： 　　(1)-3x2-4x+2=0； (2)． 例4. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【变式2】关于x的方程的一次项系数是-1，则a . 类型三、一元二次方程的解（根） 例5.若0是关于的方程的解，求实数的值，并讨论此方程解的情况． 例6.已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0， （1）求m的值； （2）求方程的解． 【变式】（1）x=1是的根，则a= . （2）已知关于x的一元二次方程 有一个根是0，求m的值. 一、单选题 1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　） A． B．1 C．1或 D．或0 二、填空题 4．（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为_______． 5．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）若m是方程的一个根，则代数式的值为________． 6．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______． 三、解答题 7．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）先化简再求值：，其中a是方程的根． 8．（2022秋·江苏·九年级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”． (1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）； (2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值； (3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练