第01讲空间向量及其线性运算-【暑假预习】2023年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲空间向量及其线性运算 【知识梳理】 知识点一、空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 （要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开） 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向 量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 单位向量：长度为1的空间向量，即. 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 要点诠释： ①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 知识点二、空间向量的加减法 1．加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2．运算律 交换律： 结合律： 要点诠释： （1） 空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法 则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2） 向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3） 空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三、空间向量的数乘运算 1. 定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当＞0时，a与a方向相同； 当＞0时，a与a方向相反； 当=0时，a=0． a的长度是a的长度的||倍．如右图所示． 2．运算律． 分配律：(a+b)=a+b； 结合律：(μa)= (μ)a． 要点诠释： （1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量． （2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，－a无意义． 知识点四、共线定理 1．共线向量的定义． 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b． 注意： 0与任意向量是共线向量． 2．共线向量定理． 空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使． 要点诠释：此定理可分解为以下两个命题： 1 a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b； 2 存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b． 注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一． 3. 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共 线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点五、共面定理 1．共面向量的定义． 通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了． 2．共面向量定理． 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对（），使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有， 上式叫做平面的向量表达式． 3.共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 【考点剖析】 类型一：空间向量的线性运算 例1、已知在平行六面体中，设，，，试用向量、、来表示向量、。 【变式1】如图，设四面体ABCD的