第01讲 一元二次方程-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第01讲 一元二次方程 【知识梳理】 一．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 二．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 三．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【考点剖析】 一．一元二次方程的定义（共6小题） 1．（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数） C．x（3x+2）＝5 D．（2x+1）2＝4x2﹣3 2．（2023•大连一模）若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k≠0 C．k＜0 D．k为实数 3．（2022秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，则m应满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m≠2 D．m＝2 4．（2023春•沙坪坝区校级期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　． 5．（2022秋•河池期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值． 6．（2022秋•青云谱区校级月考）若关于x的方程（k﹣1）x|k﹣3|+2x＝3是一元二次方程，求k的值． 二．一元二次方程的一般形式（共10小题） 7．（2023春•拱墅区校级期中）方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次项系数为（　　） A．﹣2 B．﹣2x C．﹣6 D．6 8．（2023•东莞市校级模拟）将方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25 9．（2022秋•泸溪县期末）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的二次项系数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 10．（2022秋•林州市期末）方程2x2﹣3x＝1化为一般形式后，常数项为（　　） A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣1 11．（2022秋•简阳市期末）把一元二次方程x2﹣9＝8x化成一般形式后，一次项系数的一半为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 12．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6 13．（2021秋•南江县校级月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值． 14．（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． （1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2； （2）． 15．（2022秋•海东市期中）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值． 16．（2022秋•同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0． （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解． 三．一元二次方程的解（共10小题） 17．（2023春•鄞州区校级期中）已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为