新教材人教A版（2019)选择性必修第二册课本例题和课后习题与答案

第四章数列 4．1数列的概念 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）； （2）． 解：（1）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，3，6，10，15． 图象如图4.1-2（1）所示． （1） （2） 图4.1-2 （2）当通项公式中的，2，3，4，5时，数列的前5项依次为1，0，-1，0，1． 图象如图4.1-2（2）所示． 例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，…； （2）2，0，2，0，…． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为． （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为． 练习 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列； （2）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （3）当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列； （4）数列的通项公式为 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接写出前10项后，作图即可； （2）根据题意，直接写出前10项后，作图即可； （3）根据题意，直接写出前10项后，作图即可； （4）根据题意，直接写出前10项后，作图即可； 【小问1详解】 根据题意，可知数列的前10项为：4，16，36，64，100，144，196，256，324，400.图象如下： . 【小问2详解】 根据题意，可知数列的前10项为：1，，，，，，，，，.图象如下： . 【小问3详解】 根据题意，可知数列的前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21.图象如下： . 【小问4详解】 根据题意，可知数列的前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11.图象如下： . 2. 根据数列的通项公式填表： n 1 2 … 5 … … … n … … 153 … 273 … 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据依次求出表中对应的值即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，，解得； 当时，，解得； 所以列表如下： 1 2 … 5 … 12 … 22 … 21 33 … 69 … 153 … 273 … 3. 除数函数()的函数值等于n的正因数的个数，例如，.写出数列，，…，，…的前10项. 【答案】1，2，2，3，2，4，2，4，3，4. 【解析】 【分析】根据定义直接写出即可. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以前10项分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4. 故答案为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4. 4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 【答案】（1），（2）, 【解析】 【分析】（1）找到规律后写出通项公式即可； （2）找到规律后写出通项公式即可. 【详解】（1），，，，，… 所以; （2）由题意， 所以. 例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解： 解：令， 解这个关于n的方程，得（舍去），或． 所以，120是数列的项，是第10项． 例4 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式． （1） （2） （3） （4） 图4.1-3 在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27， 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1． 因此，这个数列的一个通项公式是． 例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项． 解：由题意可知 ， ， ， ， ． 练习 5. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数． （1） （2） （3） 【答案】（1）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 （2）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 （3）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为