北京大学附属中学2021-2022学年高三下学期开学考试数学试题

2021-2022学年北京大学附中高三（下）开学数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（4分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|﹣1＜x≤2}，则A∩B＝（　　） A．（﹣0，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，2] D．（﹣∞，2] 2．（4分）已知复数z＝，则在复平面内z对应的点的坐标为（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 3．（4分）（﹣x）10的展开式中x4的系数是（　　） A．﹣210 B．﹣120 C．120 D．210 4．（4分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最短距离为1，则p的值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 5．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）和两点M（﹣1，0），N（1，0），且圆C上有且只有一个点P满足∠MPN＝90°，则r的最大值为（　　） A． B．3 C． D．5 6．（4分）已知函数f（x）＝，那么不等式f（x）≥的解集为（　　） A．（0，1] B．（0，2] C．[1，4] D．[1，6] 7．（4分）在等比数列{an}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1，记Tn＝a1a3a5…a2n﹣1（n＝1，2，⋯），则数列{Tn}（　　） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 8．（4分）在平面直角坐标系中，角α，β∈R，且以Ox为始边，则“sin（α﹣β）＝sinα﹣sinβ”是“角α，β以Ox为终边”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（4分）若函数f（x）为偶函数，且x≥0时，f（x）＝max{x3﹣3x，sinx}，其中max{a，b}表示实数a，b中的最大值，则f（x）的极值点个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（4分）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质： （1）对任意a∈R，0*a＝a； （2）对任意a，b∈R，a*b＝b*a； （3）对任意a，b，c∈R，a*（b*c）＝c*（ab）+（a*c）+（b*c）﹣2c． 给出下列三个结论： ①2*（0*2）＝0； ②对任意a，b，c∈R，a*（b*c）＝b*（c*a）； ③存在a，b，c∈R，（a+b）*c≠（a*c）+（b*c）； 其中，所有正确结论的序号是（　　） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）已知a＝230，b＝320，则a，b中较大的数是 　 　． 12．（5分）已知直线l：x+2y+m＝0是双曲线的一条渐近线，则m＝　 　；双曲线C的离心率为 　 　． 13．（5分）在△ABC中，A＝，cosB＝，BC＝6，则AC的长为 　 　． 14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ，（λ，μ∈R），则λ﹣μ＝　 　． 15．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BB1C1C的中心，F在棱AD上运动．若点P是平面D1EF与正方体的底面ABCD的公共点，则所有满足条件的点P构成图形的面积为 　 　． 三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别为PD，BC的中点． （Ⅰ）求证：AE⊥DF； （Ⅱ）当二面角C﹣EF﹣D的余弦值为时，求棱PB的长度． 17．（14分）已知函数f（x）＝asin2x+2sin2x﹣（其中a为常数且a＞0），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若方程f（x）+＝0在区间[，m]上有解，求实数m的最小值． 条件①：函数f（x）的最大值为4； 条件②：函数y＝f（x）的图象关于点（，0）对称， 18．（14分）在2020年疫情导致学生居家学习期间，某校为了解初一学生的自主学习状况，随机抽取了初一年级40名学生进行网上问卷调查，获得了他们一周（五天）的自主学习时间的数据（单位：分钟），经计算得到他们平均每天的自主学习时间，并分组整理得到如下频率分布表： 组号 分组 频数 频率 A1 [180，210） 4 0.1 A2 [210，240） 10 s A3 [240，270） n 0.3 A4 [270，300） 8