13.4课题学习 最短路径问题 教学设计 2022-2023学年人教版八年级上册数学

13.4课题学习 最短路径问题 教学设计 教学目标： （1）目标：体会平移变换在解决最值问题中的作用；感悟转化思想. （2）目标解析（达成目标的标志）：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的点与直线并充分理解题意找到求和最小问题；能利用平移变换将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能理解逻辑推理证明求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会平移变换的“桥梁”作用，感悟转化思想. 教学重点：利用平移变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用平移变换将最短路径问题转化为可以利用“两点之间，线段最短”问题 突破难点的方法：借助课件动态演示平移变换过程，进而实现问题的转化；并根据平移性质将相等线段转化，最后可以利用两点之间线段最短来解决问题. 教学过程： （一）要点概括 课题陈述：人民教育出版社义务教育教科书八年级数学上册第十三章轴对称第四节课题学习 最短路径问题—造桥选址问题 造桥选址问题是实际生活中的极值问题，解决这个问题，可以起到节约人力、物力、财力的作用，今天我们就用数学知识研究这个实际问题。 设计意图：体会新课标精神：数学源于生活，同时数学也是为了服务于生活 （2） 展示问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥要建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 设计意图：从生活中问题出发，唤起学习兴趣及探索欲望.图文并茂，直观生动，同时也激发好奇心。 （3） 弄清题意 ，转化为数学问题 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 先将原问题转化为数学问题。借助课件动态演示桥MN运动的效果图，进一步理解题意；观察从A到B的路径AMNB长度变化，明确直观不能准确找到合适的造桥地址. 设计意图：为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.同时动态效果可以更直观的理解题意. （4） 分析问题 1.按照平时的生活经验，我们首先想到直接连接AB,距离就最短了。可是这样过桥不垂直啊！所以我们想到在线段AB与河岸的交点M处修建桥MN,连接AM,BN,那这样的路径是最短的吗？ 设计意图：引导学生从平时的生活经验出发，再逐步探寻最短路径。 2.将问题不断转化：桥的长度是不变的，除开桥的长度，我们如何把其余两条线段拼接起来呢？ 设计意图：引导学生往平移线段的方向思考。把两条线段连接起来。 3.这两条线段拼起来时是曲折的，由于桥是可以任意移动的，这两条线段之和随着N的移动也在变化，但是什么时候最短呢？ 设计意图：学生思维有一个自然的过渡，两点之间线段最短。 设计解决办法：课件动态演示 设计意图：借助课件动态演示，让观众经历观察-分析-推理等活动，感受几何的研究方法，培养逻辑思考能力同时体会转化思想在教学环节中的渗透. （五）证明问题 1.要点分析，根据平移性质可知， 2.最短路径在长度上进行转化：AM+MN+BN=AA1+A1N+NB=AA1+A1B 3.在直线b上另外取一点N1，它与N不重合 新路径长度为：AM1+M1N1+N1B ，可转化：AA1+A1N1+N1B，由两边之和大于第三边可知 AN1+N1B>A1B 完成了证明过程 4.出示详细证明过程 设计意图：建立思维的有序性和完备性。 （6） 解答问题 具体步骤： 1. 将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A1； 2. 连接 A1 交河对岸b与点N； 3.过点N作河岸a的垂线交另一条河岸于点M,作桥MN； 则如图所示，建桥的位置MN即为所求。 同时也可以通过平移点B来解决。 设计解决办法：课件动态演示 设计意图：理清解答造桥选址问题的解答思路，采用化归思想将过程条理化，便于学生学习记忆，建立思维的有序性；同时强调类似的也可以通过平移点B来完成解答，建立思维的完备性。 （7） 训练和总结 1. 若河岸不是水平的，怎样才能找到最短路径呢？（桥垂直河岸修建） 设计意图：真正理解平移固定线段，从而转化线段之和的本质。 方法总结： 当A，B位于河的两岸时，我们通常将点A或是点B按与河垂直的方向平移河宽的距离，利用平移变换把把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择． 在解决这个问题的过程中，平移起到了桥梁的作用： 一方面，通过平移完成了三部分路径中定值部分，即桥长部分； 另一方面，利用平移性质可以将相等的线段转化 这种通过平移变换完成的转化思想是解题中的常用数学思想，大家一定要掌握。 设计意图：注重方法、规律及思想的提炼总结，使感性思维上升为理性思维的高度，强调平移在解决这类问题中的重要性。 2.如图，某部队开展常规战术训练，从野外A点出发步行到达公路l ，到达公路l 改乘