专题 一次函数与三角形的综合应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(人教版)

八年级下册数学《第十九章 一次函数》 专题 一次函数与三角形的综合应用问题 题型一 一次函数与等腰三角形问题 【例题1】（2022春•芝罘区期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数y2＝﹣2x交于点C（m，4），OA＝6． （1）求一次函数的表达式； （2）求△BOC的面积； （3）在线段AB上是否存在点P，使△OAP是以OA为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2022秋•沭阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于点A（3，0），点B（0，3）． （1）求直线AB的解析式； （2）若点C是线段AB上的一个动点，当△AOC的面积为3时，求出此时点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得△COP是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2022秋•烟台期末）如图，一次函数yx+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）求线段CD的长； （3）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2021秋•驿城区校级期末）直线y＝kx﹣8与x轴、y轴分别交于B、C两点，且． （1）求OB的长和k的值； （2）若点A是第一象限内直线y＝kx﹣8上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB的面积是12？ （3）在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程） 【变式1-4】（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：yx与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D． （1）求点A和点B的坐标； （2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标． 【变式1-5】（2022春•珠晖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A，C，B三点的坐标分别为A（0，4），C（3，0），B（﹣5，0），点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）求直线AC的解析式和△ABC的AC边上的高线长； （2）连接PA，写出△POA的面积S与t的函数表达式； （3）是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请直接写出P点满足条件时，所有t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-6】（2022春•明溪县月考）阅读下列材料： 课本的定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．该定理的逆命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”也是真命题．请依据上面定理与真命题，解答下面问题．如图，在直角坐标系xOy中，点A（m，）在正比例函数图象上，将y轴沿着x轴正半轴平移m个单位得到直线AB，再将直线AB绕着点A逆时针旋转n°，分别交y轴，x轴于点C，点D． （1）求m的值； （2）如图1，若n＝60，求直线AD的表达式； （3）若点C在y轴正半轴上，且△OAC是等腰三角形，求点C的坐标． 题型二 一次函数与直角三角形问题 【例题2】（2022秋•莲湖区期末）如图，直线l：yx+m交x轴于点A，交y轴于点B（0，1），点P（n，2）在直线l上． （1）求m，n的值； （2）已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，求点M的坐标． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点Q（6，8），点A在线段OQ上，点B在x轴的正半轴上，且OA+OB＝10，点B关于点P（4，0）的对称点为点C，连结AB，AC，设点A的横坐标为t． （1）求k的值，并写出当0＜y＜6时x的取值范围． （2）当点A在线段OQ上运动时，设OB的长为S． ①求S关于t的函数表达式． ②当S＝5时，求PA的长． （3）当△ABC为直角三角形时，求t的值． 【变式2-2】（2022秋•万柏林区校级月考）如图，平面直角坐标系中直线AB与x轴交于点A（﹣3，0）与y轴交于点B（0，6），点C是直线AB上的一点，它的坐标为（m，4），经过点C作直线CD∥x轴交y轴于点D． （1）求点C的坐标及线段AB的长； （2）已知点P是直线CD上一点． 请作答． ①若△POC的面积为